回答

都・府・県界…都府県の境目のことです。奈良県と大阪府との境目のような。
北海道の支庁界…今は総合振興局・振興局界というようですが、北海道は広いので、14の地域に分けて、総合振興局、振興局が担当しています。その地域の境目です。

区役所は、東京23区や、政令指定都市(人口がおよそ70万人以上の大きな都市)の博多区とか中京区というような区にある役所で、政令指定都市の区役所は市役所の支所のようなものです。
区界は、その役所が担当する地域の境界です。

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