Question

あるある

物理の問題です。写真の(エ)の問題で私はmgx_2=1k(x_2-L)^2/2と考えましたが、解答は写真の通りでした。私の方法では答えを出すのが困難なため3枚目の写真の通りにやるべきなのでしょうか？

183. ゴムひもによる小球の運動 次の文中の□を埋めよ。
図のように,屋根の端に質量の無視できるゴムひもで小球をつな
いだ。小球を屋根の位置まで持ち上げてから,落下させたときの運
動を考える。 ゴムひもの自然の長さはL, 小球の質量はmである。
図のように鉛直方向下向きにx軸をとり, 屋根の位置を原点とする。
使用するゴムひもは, 小球の位置xが x≦L のとき, ゆるんだ状態
となり小球に力を及ぼさない。 一方,x>Lのとき, ゴムひもは伸
びて張力がはたらき, ばね定数kのばねとみなせる。小球は鉛直方向にのみ運動し,地
面への衝突はないものとする。 重力加速度の大きさをgとする。
小球を屋根の位置(x=0) から静かにはなして落下させた。x=L の位置での小球の
速さはアである。 小球にはたらく張力の大きさが重力の大きさと等しい瞬間の位
置を x1 とすると, x=イである。 x = x1 での小球の速さは,v=ウであ
る。さらに小球は下降し,最下点に到達した後, 上昇した。 最下点の位置を x2 とすると,
X2=エである。 また, 最初に x1 を小球が通過してから最下点を経て、再び xx にも
どってくるまでに要した時間はオである。
[18 明治大] 175,176
JostiotutEn II Ahi/
t
エ
1-412. I/1.
屋根
-0
x

解答
(ア) x≦L のとき, ゴムひもは小球に力を及ぼさないので小球は自由落下
する。x=Lでの速さをvとすると, 自由落下の式 「v=2gy」より
よってv=√2gL
v2=2gL
(イ)図aより張力が重力とつりあう位置でのゴムひも
の伸びは x-L である。 「F=kx」 から. 張力の
大きさはk(x-L) なので力のつりあいより
mg-k(x-L)=0 よって x1 = -
mg+L
k
(ウ) x = x1 を重力による位置エネルギーの基準の位置
として, x=L と x = x1 での力学的エネルギー保
■買存則より
2
-mv₁²+mg(x₁-L) +0= 1/2mv ² ² + 0 + 1 1/2 k ( x₁ =
1-L)²
-(x₁-L)²
=2gL+
整理して vi²=ur2+2g(x-L)-
(ア),(イ)の結果より v12=2gL+2g・
よって = g2L+ mg
√√9 (21-
k
2
k
m
mg
k
mg2
k
k
m
図 a
2 別解
x=51041 合力による
1
mg
k
張力
重力
2
to
0
+ L
T
X1
北
1 [別解
での力学的
より
0+m
よって ひL=
-sotdU=/kx²
もの伸びで
の位置から
考える。 エ
り
11/12m2
UL
== // m
を解けばよ
2
-mvi

(エ)最下点でのゴムひもの伸びは x2-L。 最下点を基準の位置として
x=Lと最下点での力学的エネルギー保存則より
R
62
おと 1/23mui²+mg(x2-L) +0=0+0+1/2/k(x2-L)2
整理して k (x2-L)2-2mg(x2-L) -2mgL=0
解の公式を用いてx2-L=mg±√(mg)+2mgLk
k
X-L>0なのでx2-L=mg+√(mg)2+2mgLk
k
mg_
k
2kL \3
よって x2 =L+
1+/1+
mg
(オ)x≧Lの任意の位置xにおいて小球にはたらく力Fは
F=mg-k(x-L)
=mg-kx-x1+
k(x-
m
「T=2π√ 」より
k
mg
k
T
m
1 = 1/2 × 2√2/² =
×2π
2
k
=-k(x-x1)
これより小球は x = x1 を振動中心として単振動をすることがわかる。
求める時間は単振動の半周期に相当するので, 単振動の周期の式
= π₁
を考えるとよ
* JJ L
m
k
|xs-/pm²=(2)
Dmg
A

物理 単振動 ゴムひもによる単振動