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全部証明しようとするとかなり難しくなってしまいますが、頑張ります。
基本的には、エネルギー保存則を使って速度が0かそうでないかで運動しているかどうかを判断します。
Bにかかる力を整理すると、x軸上においては
正の方向に kq²/x²
負の方向に mgsinθ
x = aで力の釣り合いより
kq²/a² = -mgsinθ …❶
また、Bについて運動方程式を立てると
ma = kq²/x² + mgsinθ
❶より
ma = kq²(1/x² - 1/a²) …❷
❷より
加速度aは位置xによって変化するから
等加速度直線運動ではない よって③は違う
また
位置xにおけるエネルギー保存則は
速度の変数vを用いて
-2kq²/a +1/2･mgasinθ = 1/2･mv² + mgxsinθ - kq²/x
❶よりmgsinθを消去すると
-2kq²/a -1/2･kq²/a = 1/2･mv² + kq²x/a² - kq²/x
整理すると
⇒ -5/2･kq²/a = 1/2･mv² + kq²x/a² - kq²/x
⇒ 1/2･mv² = kq²(x/a² - 1/x + 5/2a) …❸
❸より
x = a のとき v ≠ 0 となるため
Bは x = a では止まらない よって①は違う
位置xによって速度vが変化するため
等速直線運動ではない よって②は違う
x = 3a/2のとき v≠0 となるため
Bは x = 3a/2 を通り過ぎてしまう よって④は違う
x = 2a のときv = 0となる
またこのとき、クーロン力<重力となるため
❶式より加速度は負となり
かつ、x = 2a は釣り合いの位置でないから
運動は斜面下方向に続く
同様にx = a/2 で v=0となるが
クーロン力>重力となり、❶式より加速度は正
かつ、x = a/2 は釣り合いの位置でないから
運動は斜面上方向に続く
よって、上記のように
Bは x = a/2からx = 2a で往復運動をする
したがって、⑤は正しい
