<with soda being … in the country> は、いわゆる<付帯状況の分詞構文>で、be動詞が必要だからです。
The average American drinks at least one sugary drink per day, <with soda being the most popular sweetened beverage in the country>.
※付帯状況の分詞構文:with soda(S:現在分詞の意味上の主語) being(現在分詞 V) the most popular sweetened beverage(C) …
= soda(S) is(V) the most popular sweetened beverage(C) in the country の状況で
平均的なアメリカ人は、1日に少なくとも1杯の砂糖が入った飲み物を飲みますが、ソーダはこの国で最も人気のある甘い飲み物です。
参考にしてください。