Question

milny

1から100までの整数を順にかけた積A。
Aを2で割り続けたとき、商が整数になるのは何回目までですか？

中学受験 数の性質

Answer 1

ひつま節₁₂₃₄

1-100までの整数について考えるとき、
A=(すべての偶数の積)x(すべての奇数の積)
と表せる。
すべての奇数の積は２では割り切れないため、すべての偶数の積の部分をBとおき、これが２で何回割れるかを考える。すると
B=2x(1x2x3x...x49x50)
となるので、Bはまず50回割ることができる。この割って残った数をCとすると、また偶数と奇数の積に分けられて、
C=2x(1x2x3x...x24x25)×(50までの奇数の積)
と書き直せて、奇数部分の積は先と同様に２で割り切れないため、Cは少なくとも25回２で割れることになる。
以降同様に、偶数の積に着目しそれが２で何回割れるかに着目すると、
D=2×(1x2x3x...x12)×(25までの奇数の積)　は少なくとも12回２で割れて、
E=2×(1x2x3x...x6)×(12までの奇数の積)　は少なくとも6回２で割れて、
F=2×(1x2x3)×(6 までの奇数の積)は少なくとも３回２で割れて、
G=2x1x3 は１回だけ2で割れ、これ以上は２で割ると整数になりません。
今、これまで２で割れた回数を足すと、50+25+12+6+3+1=97回となるので、これが答えになります。