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書いてある通りにkを使って表します。
a+b=9k
b+c=11k
c+a=10k
これらを全て足して
2(a+b+c)=30k
a+b+c=15k
つまり a=4k,b=5k,c=6k なので
a:b:c=4:5:6
次に余弦定理より
a^2=b^2+c^2-2bc•cosAなので
16k^2=25k^2+36k^2-60k^2•cosA
整理して約分するとk^2が消えて
cosA=3/4
三角形の面積をSとすると
S=1/2bc•sinA
なのでまずsinAを求めます。
sin^2θ+cos^2θ=1より
sin^2A=1-9/16
sin^2A=7/16
sinA=±(√7)/4
0°<∠A<180°よりsinA>0なので
sinA=(√7)/4
S=1/2bc•sinAより
135√7=1/2•30k^2•(√7)/4
k^2=36
k>0よりk=6
よってa=24