ページ3:

117 次の等式を証明せよ。
x² + y²+z² - xy-yz -Ex = ± {(x-y)²+(y-z)²+(2-1)²}
(1510) = (x²- 2x0+ y² Ay²+2y2+z² +2² - 2x2+x³)
= ±(2x+2y²+22"-2xy-2yz-2xz)
= x²+ y²+z² - xy-y2-2x
*71. x²+y²+2²- xy-y2-2x= = {(x-3) + (3-2)²+(2-x)}
よって、
1:
118a+b+c=0のとき、等式の(+)+(2)+(-3を
証明せよ。
a+b+c=0という条件より C=-(a+b)
(12) of bitc) + b(a+c) +c (ab,
=
abtac abthe
+ act bac
ab
c(a+b)
=
===
bc
Ca
a(b+c) + blatte) + Car
bc
Ca
076+c) + b² (a+c) + ((a+b)
abc
C=-(a+b)σy
- a³-63+(a+b)² (a+b)
-ab(a+b)
-a³-b³+(+6)³
=(a+p)
1-a²-b²+a²/ +30°b+3ab'+b²
三
zab(a+b)
-ob(a+b)
-oblatb)
120(2)x:4.2=a:bicのとき、次の等式を証明せよ
xty b+Z
a+b
2C
=
y
Ztx
=
b+c
C+a
λ = 1 = 2 = k (k +0) chce
a
b
C
x=ak, y=bk, z=ck
ak+bk_bktck=
ck+ak
=k
a+b
btc
C+a
よって、
よってさ
478
Z+x
=
a+b
btc
cta

ページ4:

11 次の値を求めよ
121 (1) x : y:8:23:4
x+y+z=54のとき、x,y,zの値
X===k(k=0)とおくと
2
3
x=2k, y=3kZ=4k
①を代入して/
2k+3k+4k=54
9k=54
k=6
これを①に代入して
~
Q
x=12, 2=18, Z=24
122=2サート
のと
(辛口)
7
cty=3k, y+z=6k,Z+2=7k
xの値を求めよ
xy+7872x
y=3k-x (3k-x+z=6k2=7k-z-4k+2z=6k
28=10k =5k
よって、x=2k, y=k,2=5k
x²+7222
4kk+25kz
36K
30
xy+y+zx
2k²+5k² + 10k².
>
=
123-c C-a
証明せよ。
=
R このとき、等式 ax+by+cz=0を
a-b
x=(b-c)ksy=(c-o)k, z=(a-b)k
よって、axtbyt cz
a(b-c)k+b(c-a)k+c(a-b)k
=k(ab-ac+bc-ab+ac-be)
よって、an+by+Cz=0

ページ5:

127 d7b>C>dのとき、次の不等式を証明せよ。
127 (1) ab + b c > btca
(ab+bc)(b+ca)(ab+bc)(b+ca)
= a(b-c) - b (b-c) = (a+b) (b-c) > 0
=(a-b) (b-c)
abyb>より、
よ
a
bc >B+ca
a-b>0,b-c>0で
あるから、
128 次の不等式を証明せよ。また等号が成り立つのは
128 (1) 9a2+462≧12ab
(da²+4b²)-12ab
(3a-26)² ≤0
よって、900+46/12ab
等号が成り立つ条件
(3a) (2b)²=0
3a=26
129次の不等式を証明せよ。。
(1)x+32x
(x²+3)-2x=-2x+3
よって、++
(2)3x²+5>4x
=(x-1)+2>0
(3x²+5)-4x=3x²-4x+5
= 3 (x² + (x) +5
どのようなときか。
9a²+48=12ab
=3{(x-3)-(3)+5
92+48-1296=0
a=
2
=3(x+170
よって、3→5→4x

ページ6:

132a30,b0 のとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が
成り立つのはどのようなときか。
(1)3tama+ba
両辺の平方の差を考えると
(sta)-(√atba)² = (a+ba+a")-(a+ba) = a²=0
よって、(3+¥59+60) 2
3+a>0, Vatba70であるから、3ta≧Satba
等号が成り立つのは二〇すなわちのこのときである。
(2) 2√α +3√6 = √ 4a+ab
両辺の平方の差を考えると
(2+3/6)-(14a+ab)=140+12/06+96)-(4a+9b):12/630
おって(2+3店)(4atab)
2√ a +3/b>0, √ 40+ 96>0783/13 2√2+3/62/49+96
等号が成り立つのは12/10b=0すなわち 06:0のときである。
不等式latll+la-ll≧palを証明せよ。また、等号が成り立つ
のはどのようなときか
全体の(a+1+10-is-lar
2じょう!=10+1+21a+1110-1+1a-1-1zak
= (a+1)² + (0-1)² (20)²+2/2+1110-11
= a+za+ 1 ta²- 2a+1-40²+2/2+1/10-11
←
=-2α²+2+2|+1||-|-|(a+1)(a-1)/c
=
=-2(0-1)+210-1
-2{1a-11-(a-1)}
ここで、10-11≧a-1であるから、
(la+il + 10-11)²- /2a1-30
+7 (10+1/+a-1)²=/2012
10+1+10-1120,12a10であるから、
10t11+10-11 1zal
等号が成り立つのは
10^-1=02-1,すなわち
130のときであるから、assaのときである。

ページ7:

129 次の式を証明せよ。
(1)x+3>2x
(x²+3)-2/x=-2x+3
=
よって、
=(x-1)++20
(2)32+5>4x
(3x²+5)-42=320-4+5
〃
=
3 (x²- *x)+5
・3{(x-3)-(3)+5
=3(x+学
よって、354x
130次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
(1)a2+562≧4ab等号が成り立つのは
a++5b-4ab
(0-26)+62
a-2b=0, b-ot
あるから
a=b=0のときで 3
ある
女
であるから、
3(x-2y)² + (y² 20
10-20 20,1230あるからよってろ≧x72
(a-2b)²+b² 20
よって、ミyab
(2) 3ど≒9xy-7g2
3x²-9xy+7g
・3(x^2-3xg)+7g
=3(x-1)+
等号が成り立つのは
あるから、
x=y=0のときである。
3(x — — — 2)² ≤0,
13190,600のとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つ
のはどのようなときか
(1)a+税24
いったん整理!
030)あるが平均1時(a+36)(+6) 12
相乗平均の関係より
at a1=4が成り立つ
等号が成り立つのはard すなわち
(2) + 1/2
b
ajab
3 + 16 +20 + 3 = 12 7 6 + 7226
6+6=12
[00], [>][口であるから相加平均と
a
=2倍=6が成り立つ
02.4のときた
arory
このときである。
相乗平均の関係より
号が成り立つのは(at) (2/26)
(+1)
よって、
070,800であるから相加平均とな
b
pa
asaすなわち02:9b
a
相乗平均の関係より
計量の倍音が成り立つ
1
b
=0のとき すなわちびこの
等号が成り立つのはa,broaky abのときである。
a3bのときである。
のときでa0b7より
6-06
成り立つ

ページ8:

次の不等式を証明せよ。
2>x&zy.
(@1) x>2>y> 10x + 2x ty > xy + 2> x+2y.
(1-2)(x+y)-(rs2)
-- (ny-2x-4+2)
=-(k-1)(4-2)
= (k-1)(2-4)
? X727 471 £7.
x-120,2-420で
あるから、
(2x+y)-(ky+2)
= (x-4)(2-4770
2674>>472-0
ゆえに
(2) a > C,
Da zatsc
=
b
-
>* (xy + 2)(x+2y) 0-0
2
=27-1-2472
-(x-2) (2-1)
>>> 471 24. 16-270, 8-170
であるから、
(λg +2)-(x+2y) = (1-2) (y-1)>0
ゆえに+2>入ty②
①②より
abo,d>oax +
b 2btsd
a (26+0d) -b (zatsc)
6(26450)
rad-bc)
2
b(2b+50)
2x+y> kyt? > x+zy
すなわち
Ratsc
26+5d
>ad-bc>0
*te) 2b+5d >0
zatsc, 5(ad-by)
2
よって、co-tsdb(b+od)>
ゆえに、8/2
2075C
3
26+56
①
2a45C
22+5€
42526+50
7.
24278
考える
ここで、bodyoより ②同様にして
①の両辺に
bd
bdをかけると、
a.bd > = 'bd
2a75c
26+5d
= d(Patsc)-c(2b+sd)
d(2b+sd)
2(08-bc) >0
1126450)
①②より
2045C
26450
»

ページ9:

135 次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのは
どのようなときか
135_(1) a2t2b'+1≧2b (atr)
a2+2b2+12b(a+1)
=a²+2b²-20b-2b+1
=(a-b)4b3-2b+1
= (a+b)+(b-1)² = 0,
よって、821282+1=26tati
等号が成り立つのは
つまり、0=b=1のとき
である。
a=bb=1/2でくくる!
a2+b2+czzabtbctca
(a² + b²+c³) - lab+bc-ca)
=1/2 {la-zab+b)+(b22bctc2)+(ccata)}
=/{ca-by+(b-c)+(-a)
よって、+8+2=ab+bc+ca
等号が成り立つのは
Q:bか?b=Cかつcza
→つまりa=b:cのときである
ba,athを小さいほうから順に
as
b
136a>6>0のとき、1,
式を整理して求める方法)
並べよ。
$+1
a=2,D=1を代入するとaatina(btl)-b (ati)
こ
btl
b(btl)
=a-b
b(bti)
>0
bel
2
b
9413
2
b41
ath
bPL
((atl)-(bt1)
btl
atl
6+1
a-b
b
btl
70/2 071
'bel
=
0-070
よって17
③
a
a
①.②.③より六
長くに
atl
である。
btl

ページ10:

相加平均x1のとき、ふけ
9
をつけろ!
相乗平均つの値を求めよ。
xti
・最小値を求めよ。また、そのときの
9
its
kts.
X-It-q=ktif
Xより、x+17, ポプであるため、相加平均と
-2
相乗平均の関係より、
α-1+
9
x+1
2 (+1)
エ=6が成り立つ
x+1
よって、6-2=4が成り立つ
等号が成り立つのはこ
9
ntl
すなわち(19のときで、ルフより
xtに3;すなわち1つのときである
139a70,b>のとき、不等式(at)(20+/)≧9を証明せよ。
また、等号が成り立つのはどのようなときか。
lat
(a+² ) ( 26+ 2) = 206+1+4+ 1/6 = 5+rab+ab
ab
zab>0,250より、相加平均と相乗平均の関係より
ap
2ob + 2 =2/20b. 27 = 4
2abt/
ab
よって、10+2) (26+d)=5+4=9が成り立つ。
等号が成り立つのはzab-/2/1
つまり、(b)=1のときでab>0より、
ab=1のときである。

ページ11:

i43/alt/bl≧latblを利用して、次の不等式を証明せよ。
148(1) 21a1+3161≧120+36)
|al +/bl=10+bl-0
①より palt13b13lzatibl
ゆえに21a1+3101312at3b1
ぜこれでいいの?
それぞれ別々の
全体の合計
きょりの合計
☆12a1+3b/13bl
12a1
| 2a+36]
例.as-2,b=1のとき
☆1zalt1361
=4+6=10
☆2a+36|
14+61
こっちの
12at30)
=2

ページ12:

140 4 30 6≧0のとき、不等式√2(a+b) zatoを
証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
140 両辺の平方の差を考えると、
{12(a+b)}=(a+1)
=2(a+b)-(+)
=2(a+b)-a-25albo-b
=a-2a+b
= (Ta-√5)²=0
よって、{lath)}(at)
√2 (a+b) = 0, √α+√630x4
√2(a+b)=√0+√6
等号がなりたつのは
すなわち
abのときである。
19 次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどの
ようなときか。(a2+b+c)(+22)=(ax+bytez)。
(a²+b²+c) (x²+ y²+2)-(axtby+(2)
= (σ'x² +a²y²+α²z² + b²x²+by²+b²z² + cx²+(y²+(2²)-
(ax + b²² + (`z² +2 mrby + zbycz+20x(z)
a²y² +a²z²+b²x²+¥¥Z?t\C³°³ +ED² - zarby-zby cz -
= (br-ay)²+ (cy-bz)² + (az - cxc) 230
£; 7. (a²+b²+c²) (x²+ y²+z²) = (ax+by+CZ) =
等号が成り立つのは、
bxe=ayかつcy=bzかつaz=cのときである。
120xcz