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2024年度 10月第2回ベネッセ・駿台記述模試 自学@Akagi
Z問題
Z40を原点とする座標平面上に2点A(2, 2),B(4, -2)があり,
線分 OA の中点を中心とする半径1の円をKとする。 K上に点Cを
とり, P = AB2 + BC2 + CA' とする。 点CがK上を動くとき, Pの
とり得る値の範囲を求めよ。
(配点 40 )

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自学 @Akagi
~図形と方程式~
○ 線分 0(0, 0) A(2, 2)の中点は M(1,1)
○ M(1, 1)を中心とする半径1の円の方程式は (x-1)^+ (y-1)^ =1
展開すると
x 2 + y2-2x-2y + 1 = 0
○ 点C の座標をC(a,
b) とおく。
CはK上の点だから
a2+62-2a-2b+1= 0
→ a² +b2=2a + 26 - 1
OAB2=(4-2)^+(-2-2)^=20
BC² = (a− 4)² + (b + 2)² = a² +b² −8a+ 4b+20
CA² = (2 − a)² + (2 − b)² = a² +b² − 4a − 4b+8 より
P=2a² +262 - 12a + 48
= 2(2a+26-1) -12a + 48 ※①を代入
=-8a +4b + 46
= 4(-2a + b) + 46
_ -2a+b=kとおき、 α, bが⑩を満たすときのkの値の
範囲を求めます
○b=2a+k を⑩に代入 a + (2a+k)-2a-2(2a + k) + 1 = 0
5a² + (4k - 6)a + k2 - 2k + 1 = 0
○②の判別式をDとすると、 ②を満たす実数 α が存在するには D≧0 であれ
ばよいので
D=(4k-6)2-4×5×(k2-2k+1)
=-4k2-8k +16
=-4(k2+2k-4)
-2±√20
k=
=1±√5
であるから
k2+2k-4≧0
2
より
-1-√5≦k≦ -1 + √5
P = 4k + 46より4(-1-√5) + 46≦4k + 46 ≦ 4(-1+ √5) + 46
∴.42-4√5 P42 +4√5
(…?