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微分レポート課題
(a, fla))
ソ=f(x)に点(9,f(a))で接する接線mの方程式を
ある二次関数
求めたいとする。 一般に、直線の傾きは以下の公式で求められる。
\ュー 垂直距離
=
xュース」 水平距離
\(ath, flath))
Y= f(x)
しかし、二次関数のように接線が1点でしか接し得ない場合、接線の傾きを
求めるのに上の考え方をそのまま適用することはできない。
何次関数から接線が二点で
交わえ得るのか。
関数の接線は重解(別紙参照)
だから四次式以上ではないと
重解は2つつくれないので、四次関数
以上だとあり得る。例:(-1)(x-3)
ho
h
レポート課題の説明用紙に極限は
あくまで2点をとるから接続にはならないのでは
ないか、という疑問が載っていましたガン個人的には
限りなく近い値をとることで接線の傾きを理
論的に推測できると考えて受け入れました。 数学的
に正しいのかは分からないです。
そこで、0に限りなく近い正の整数を考える。(a,fla))と(ath, flat))
の傾きを求めることで(a,f(a))における傾きに限りなく近い数が求める
れると考える。これが極限の考え方で、下記のように表す。
f(a)= limflath)-f(a)
このfica)を微分係数という。また、関数f(x)上のすべての点における
接線の傾きを関数で表したものを道関数といい
f'(x)= lim f(xcth)-f(x)
h7o
h
のように表す。
(a, gca))
B
(b,g(b))
y=(x)はy=(x)のある三次関数のグラフで、接線A,B,Cとそれぞれ(a,g()),
(b,g(b)), (cg(c))で接していて、接線Cはx軸に平行であるとする。
習った当初は円と同様だと考えて、2点以上
で接する関数のグラフの接点なんて考えていなかったので、
一瞬「あれ?なんで接の仕きからグラスの概形が
分かるんだろう」となりました。
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(c, gcc)) それぞれの接線の傾きは接点あたりのソ=g(x)の限りなく小さな区間での傾きである
ため、その点におけるY=g(x)の向いている方向を示し、これはグラフの形の根形を書くのに
使える。
グラフでソが大きい方向にすすむことが正の方向だと考えれば、たとえばg'(a)が負の値
であるならばy=g(x)はx=ムの点においてこの方向に進んでいると捉えることができ
る。同様に,g'cc)が正の値ならここでは↑の方向である。Bの傾きが0(g(b)=0 )
の接線ではx=bの点が極値になっている。ただし、極値とは↑とこの間

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(ちょうど転換点)にある点である必要がある。たとえば右記の三次関数のグラフ上の点Aの接線の傾きが
0であったとしてもその前後が↑とかであるので点は極値にあるとはいえない。
このような導関数におけるグラフの増加減少(増減)の推移は増減表に表される。
A
Y'=0
そして増減表のf(x)の推移を元にグラつの形が書ける。(※(((x)のグラフとf(x)のグラフは違う)
(増滅表の例)
(グラフの例)
b
f(x)
-
a
0 +
f(x) ((a)
↑
0 +
((6)| 7
(b,f(b))
(a,fla))
極値
極値では
ない
円は微分できないの?
今回のレポート課題とは関係なく、図形と方程式の問題を解いているときにふと思いましたが、よく考えたら円の方程式スナゾニャは関数
ではなかったです。(例:x+y=1で2=1のときy-いの両方がある)
たとえばx+ya+1について円の範囲を上半分と下半分で分ければ
上半分: y=1-2
下半分:
とできそうですが、ここからは数の範囲みたいなので一旦諦めました。機会があれば数の微分も少し触れてみたい。
2回微分をしてみる。
2回以上微分をしてみて、機能するか試してみます。
f(x)=x3-3x+1
Y= f(x)
y=(x)
('(x)=3x²-3
x 0
x
...
-1
f(x)=6x
f(x) 0 ナ
f000 +
0 -
0 +
f(x)
-37
(1x)77
3
=
(0,-3)
これをうまいこと使えれば傾きの傾きが分かることにより、より精度の高いグラつが書けそうですか、僕にはそこまでの技量はなかったので
いつも通り書きました。
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