ページ1:

<分野> 力学
運動方程式(図:
小球
--
dt
- Nsing
m diy = Noost-mo
M=Nsin
0 = -Ncos-Mo+P 一
50.
-mg
→
- v = (ŏ)
=(2)
III 点に戻って来たときの速度は、
v=uo, V=V2
運動量保存則:
mue + MV2 = 0
これと⑥より、
U₂ = -CU
V=-ev₁
これより台の変位AX は、
AX= Vits+Vete=0(各)
IV () 運動量保存則:
mu+MV=0
力学的エネルギー保存則
13/Mv=mgh
{ mil₁² + Vy") + 1 MV² = mgh
(29h-Uy²) m²
M(M+m)
(答)
22
束縛条件:Vy=(x-V) tand
ID 6より、運動量保存則:
この2式より」
V=
1:
mu+MV=(一定)
:. mu+MV=0
(tel: += 0.) (2/1
(2)V
①~⑤より、力学的エネルギー保存則:
1/mv² + 1 MV² + may = (-1)
1辺
:: |/ mu₁² + 1 | MV₁² = mgh (+2 = t = t₁)
\辺:t=01
この2式より、
toth
U₁ = -1/29h M
M+m
V₁ =N/29h-
(M(M+m)
m²
(答)
CDにおいて相対速度U-Vが一定より、
l
M
()
U₁-V₁
29h M+m
II点において衝突する。
(va, V) = (U₂, V₂)
となるとするとっ
e ==
U2-V2
21-V
よってひュー12でX軸方向に動くので、
t₂ =
U2-V2
=
(答)

ページ2:

物理
東京大(97) 2
図2のように、2組の平行な導体のレールP, P' および Q, Q' を水平面上
そにおき、これに磁束密度B の一様な磁界を鉛直方向に加える。 P, Qは同一直線
「上にあり,PとP' および Q と Q' の間隔は!である。 レールの上には導体格 M.
Nが直角に載っていて, P. P' および Q, Q'上を摩擦なしに動くことができる。
また,M,Nは硬い平板でつながれ,一体となって運動する。 この導体格と平板
には、ばね定数kのばねがレールと平行に取り付けられ, ばねの他端は固定され
ている。 ばねおよび平板は絶縁体でできている。 レール P, P'には,電源と抵抗
R がつながれている。また,レール Q, Q'には,抵抗とスイッチが直列につな
がれており、最初スイッチは開いている。 レール, 導体格および導線の抵抗はすべ
て小さく, 無視できるものとして以下の設問に答えよ。
電源として電圧 V の直流電源をつないであるとき, 電流により導体格に
働く力Fを求めよ。
Ⅱ導体棒,平板およびばねの質量は無視でき, 導体棒, レール、導線の自己イン
ダクタンスは考えなくてよいものとして、以下の設問に答えよ。
fo
(1)電源として, 角周波数の交流電源をつないだところ, 導体棒は単振動を
し、その変位がxo sin wt となった。 このとき, 導体棒 M が磁界から受ける
カFおよびMに流れている電流を時間の関数として求めよ。
(2)この状態で,導体棒Nの両端に生じる誘導起電力 Vを時間の関数として求
めよ。
(3) 電源電圧の振幅を一定に保ったままスイッチを閉じた。 導体棒の単振動の振
幅はスイッチを閉じる前と比較してどう変化したか。 理由をつけて述べよ。
(4) スイッチを閉じた状態で, 振動変位が xosin wt となるように電源電圧を調
整した。 導体棒Mに流れる電流を時間の関数として求めよ。
導線
電源
図2
導体棒M
0
8
1878-
導体棒N
ばね
(固定)
導線

ページ3:

<分野> 電磁気
I 直流電源(電圧Vo)
導体枠Mが固定
キルヒホッフの法則:
TR = V
よってカー×官より、
F= LB-B96)
II 交流電源
017
運動方程式
'N
Q
0 2
Bo
-0000-1
(3) ②+③より,
E=RI+Ti=
2+(1)日
スイッチが開いているとき
Ko
E= {sinart+
スイッチが閉じているとき
xswt}(:i→01→①)
E=2, { start+(14) Blast}
Eが一定より, X>21
(4)=Xosinwt のとき I=ュ
①、②より、
_Blide+ba
-
i₂B) = ¿BD + Rx = T dt
On
: 22 =
RI = E-do-E-Bod
dt
興器+
Bl da Ra
BIWgoxoswt+- Ryosinat
BO^
=120 (+(鄙 sin(t+) ()
BIPW
但しtand
=
rk
棒M+N: 0• dt = I Bl - iBl−kx -
キルヒホッフの法則
=
Ti = = = 0
dt
(1)スイッチが開いているので、i=0
I=I sinwt のとき I=フィ
①より,
Tex = iBD
-3. F₁ = 2Bl
また、
(2)②より
=kx=Renosinwt ()
診
=
BD.
sonat
(答)
=Bld(losinwt)
dt
=Blu (cosat()
(M)

ページ4:

物理
東京大(97・前) 3
図3のように、外洋と港が直線状の防波堤によって隔てられ、平面波が外洋
から打ち寄せている。この平面波の振幅および波長は一定で, 波面は防波堤と平行
である。防波堤には、船の出入りのため開口部が設けられており、その幅んは,
波の波長と大差ない程度の範囲で,変えることができる。波の速さは外洋でも港で
も同じであり,防波堤や岸壁による波の反射は無視できるとして、以下の設問に答
えよ。
外洋
防波堤
図3
港
C'
岸壁
Ⅰ 波は開口部を通して図3のように港に入り, 防波堤のかげに回り込む。 このよ
うな現象は何と呼ばれるか。 またそれは, 波に関するどのような原理または性質
により説明されるか
(91)-9-
1899-7462
0-Ad=10-00
- IN
A
(8-1000 (-) BOD
Ⅱ 開口部の中心から岸壁に向かって, 防波堤と垂直に距離だけ離れた点Cを
考える。がんよりかなり大きい場合には,C点での波の振幅αは、開口部の
幅んに比例する。 なぜそうなるか, 理由を簡単に述べよ。
港に入った彼は, 開口部から十分に遠くでは, 開口部の中心を頂点とする, 頂角
8の扇形に広がると近似できる。 また一般に, 波面に沿う長さLの区間を通過す
る波のエネルギーは,波の振幅が波面に沿って一定であるとき 波の振幅の2乗と
Lとに比例する。このことを知って、ひきつづき以下の設問に答えよ。
III港に入りこんだ波の振幅は,頂角0 があまり大きくない限り, 円弧 C'CC" に
沿ってほぼ一定で,その外側では0になると近似できる。 また, 波のエネルギー
は保存されるので, 円弧 C'CC" を通過する波のエネルギーは, 開口部を通して
港に入りこむ波のエネルギーに等しい。これらのことと設問Ⅱから, 開口部の幅
hを変えたとき,頂角がんの何乗に比例して変わるか, 理由をつけて述べよ。
IV C点を防波堤から岸壁に向けてしだいに遠ざけていくとき, そこでの波の振幅
α は,距離 r の何乗に比例して変わるか。 理由をつけて述べよ。
(
(at (red)
-5-br

ページ5:

<分野>波動
Ⅰ 回折…ホイヘンスの原理により説明される(答)
一つの波面上の各点を
仮想的な原とみなして、
その波源から生する波を重ね合わせたものが
次の瞬間の波面を形成するという考え方。
IIr≫hならば、開口部から出た波はC点にほとんど
同位相で到達する。よってC点での波の振幅αは、
開口部の仮想的な波源の数、すなわちんに比例する。
III 開口での振幅をAとすると。
エネルギー保存則:
-0
ro-a² = hА²
しかしⅡより, a=chba=k.bh(bER)
よってhをb倍すると、aもb倍になるので、エネルギー保存則:
rð (ba)²= (h)A² -
①と②が矛盾しないためには,
①の日(=Q1)②の日(=62)
としてっ
01=682
したがってhbhのとき日11日となるので
はんに反比例((-1)乗に比例する。(笛)
IV エネルギー保存則
r²=hA²
ra²=
(一定)
ここでIIIより、はんを考えなければ一定であるので、
hA2
0
よって、aはその平方根に反比例(6)乗に比例)する。(特)

ページ6:

物理
京都大(99.前) I
次の文を読んで.
に適した式または数をそれぞれの解答欄に記入せよ。
図1のように,水平な床の上を摩擦なしに動くことのできる質量 M[kg] の台車
がある。 台車上で、質量m[kg] の小球がばね定数 k [N/m] のばねで台車の端につ
ながれ、一方の端には質量m[kg] の小物体が置かれている。はじめ、ばねは自然
長であり、台車、小球, および小物体は静止している。 小物体を速度 [m/s]で小
球に向けて滑らせた後の、台車, 小球、および小物体の運動について考える。 以下,
台車に固定した座標系を D. 床に固定した静止座標系をSと呼ぶ。 座標系Dでの小
球の位置は、ばねがx 〔m〕 縮んだときを正、伸びたときを負として座標xで表す。
座標系Sでは右方向を正とする。 運動は全て同一鉛直面内で起こり、ばねは質量が
無視でき十分長く、台車と小球の間の摩擦は常に無視できるとする。 重力加速度の大
きさを g 〔m/s] とする。
小物体
小球
m
moo
mmmm
x
台車M
O
S
図 1
(1) 小物体と台車の間の摩擦が無視でき, 小物体は一回だけ小球と完全弾性衝突を
し,以後小球と衝突することはなかったとする。 衝突直後の小物体の速度は
[m/s], 小球の速度 [m/s]はv=
である。 ここで衝突
後の台車と小球の運動を考えよう。 小球の座標がxであるとき. 座標系Sで台車
の運動を観測すると, 台車の加速度 6 [m/s] は, b =
である。 この時
てma=
あり。 その周期は
る。
ホ [s]. 振動の中心はx=
の座標系Dでの小球の加速度を α[m/s] とすると, 小球の運動方程式は6を用い
と書ける。この式から, 座標系Dでの小球の運動は単振動で
であることがわか
この単振動の振幅を求めるために, ばねが最も縮んだ時を考える。 この時の座標
系Sでの台車と小球の速度は。 両者の相対速度が0であることと運動量保存則を
使って, vを用いて ト [m/s] と表される。 この結果とエネルギー保存則
を使うと、振幅は”を用いて チ 〔m〕 と表されることがわかる。
(2)次に, 小物体と台車の間に摩擦があり. 小物体は小球に衝突することなく台車上
で静止したとする。 小物体が静止するまでの運動を考える。 ただし、動摩擦係数を
とする。 小球の座標がxであるとき. 座標系Sでの台車の加速度 6' [m/s'] は
b' = リ である。この時の座標系Dでの小球の加速度をα [m/s] とする
ヌ と書ける。これより, 座標
と,小球の運動方程式はがを用いて md' =
系Dでの小球の運動は単振動であり,その中心はx=
ル であることがわ
かる。

ページ7:

<分野> 力学
(1) (1)運動方程式 (座標系D/図2)
小物体:mof=-f
小球 : mdio=f
dt
よって運動量保存則は、
12 a
mlb + m = p = mou(初期条件=0のとき=26.2g = 0)
衝突直後(-2,びにおいて、
mu+mv=mU.
①
また完全弾性衝突をしたので、反発係数は1より、
単振動の振幅をAとすると、③④より、力学的エネルギー保存則は,
← 8
=
dt
du
④
mv
=-kx d(x+x)
dt
# (+Mv² + 1m³) = f (-1/2x²)
/MV+5m
(初期条件
+50 E=mぴ
V) (+
のときV=0,2=0)
V₁-V
0-0
以上、①②より、
よってV===Aのとき、
=-1
-0
/(M+m)+/=/mo
Mmm
mo-m
V₁ =
amo
26
>
:: A = 2.
~(D)
:: Q =
骸ニー
Mm x
motm
mix)
(ii) 運動方程式(座標系S/図6)
motmyo
6: M-2 (b-1) @
b =
M
2
~(1)
運動方程式(座標系D/図b)
#1 : m² = - kx - m² / (a = dip)
k
m
2-
1x = -kM+m,
(2)運動方程式 (座標系S/図c)
R(M+m)
(:6)
(チ)
at
台車 : M=12-1000
(b'=1)
.. b'=kx
Nonog
運動方程式(座標系D/図)
小また : mu-mo
M
~(1)
dv
=
(a=.
du
dt
Mtm
at²
Mm 1/2+
mm
M+m k
(26=27)
よって小球は単振動して、その中心は、
momμ
R
X=
→2
Mtmp
0
~(ル)
小体
√ Up
N
図6(座標系S)
ここで
0=
より、小球は座標系0において
N
mg
単振動する。
M+m
角振動数 W=
図
C
Mm
周期 T= 270
=
2
Tim
W
(M+m)
―(ホ)
~ (^)
振動の中心 x=0
運動方程式(座標系S/図b
√√t = m ft = - kx
③十④より、運動量保存則
mu+MV=P=mu (初期条件Ub=0のときV=0)
最も縮んだとき、 =0 すなわち、v=V=Nとすると、
m
muet Mue = mu
:. Vc = + MU
~~~(1)

ページ8:

物理
京都大(97前)II
次の文を読んで、
に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。
磁界中の荷電粒子の円運動を利用して、荷電粒子を加速する装置が円形加速器であ
りサイクロトロン (図1) やべータトロン (図2) がある。
B
B
R
11
かんげき
図 1
po
図 2
(1) サイクロトロンでは,図1のように、一様な磁界中に, 半円形の2個の中空電極を
狭い間隙を隔てて配置し,高周波電源Eを接続する。 電極の中心付近に、正のイ
オンを磁界に垂直に入射させる。 イオンは電極の間隙を通るたびに加速される。 そ
の結果、イオンは、図1で点線で表されているような軌跡を描く。 磁界の磁束密度
をB[Wb/m²〕,イオンの質量を M〔kg), 電荷をg〔C] とする。 イオンがこの磁界
中で円運動をしているとき,その周期は
[s] で与えられる。 したがっ
ト
て、イオンを加速するのに必要な高周波電圧の振動数の最小値 f [Hz] は
=
である。
1
いま、時間間隔 [s] だけイオンを連続的に入射させる。 電極の間隙は狭
6f
く,イオンが電極間を進む間の電圧変化は無視できるとする。 電極間の電位差は,
時刻 [s].V(t) = Vocos (2ヵft) [V] であり、 最初のイオンが初めて電極
1
の間隙を通過した時刻は1=0で,最後のイオンが通過した時刻は!= T
6f
あった。 最初のイオンは, 電極を半周するたびに ウ [J] のエネルギーを得
る。このため,イオンの軌道半径は半周ごとに大きくなり, やがてイオンは中心か
R[m] の位置にある取り出し口Pに到達する。 この時, 最初のイオンの運動エ
ネルギーは
[J]で,同じ時刻に, 最後のイオンは, 中心から
オ [m] の距離にある。 ただし, 入射された時のイオンの運動エネルギー
は, 半周ごとに得るエネルギーに比べて無視できるとする。 また, 半周ごとの軌道
半径の差は Rに比べて十分小さく, R を最終軌道半径とみなしてよい。 イオンの
速さは光速に比べて十分に小さいとする。
(2)
ベータトロンでは,電子の円運動の軌道の内部を貫く磁束の時間変化によって生
じる誘導起電力を利用する。 電子は,ドーナツ状の真空の管の内部で、 図2の点線
のような一定半径R [m] の円軌道上を動く。 また、磁界はこの軌道面に垂直であり,
磁束密度Bの方向は図2に示した矢印の方向である。 以下, 電子のまわる方向を
正にとる。
質量m[kg],電荷e[C] の電子を図2のように円軌道に沿って入射させる。
この時の軌道上での磁束密度BをBo [Wb/m²) とする。 電子が半径R[m] の円
運動をするために必要な電子の運動量 po〔kg・m/s] は po=
の時の軌道の内部を貫く全磁束を。 [Wb] とする。 入射後の微小時間 4([s] の間
カ であるこ
に磁束を⊿ [Wb] だけ増加させると, 軌道に沿って一周あたり
(V)
の誘導起電力が生じ, 電子には
運動量は.
は、同時に軌道上での磁束密度の増加量 4B [Wb/m²] を 4B =
ク [V/m〕 の電界が働く。 そのため電子の
ケ | [kg・m/s] だけ増加する。 ここで,Rを一定に保つために
コ
× 40
とする必要がある。 ベータトロンでは,このような条件を満たすような空間的に一
様でない磁界を使って加速を行う。
M
SM-21

ページ9:

<分野> 電磁気
(IXi)運動方程式(図Q)
イオン
(中心方向)
: r=
M² = SUB ·
MU
MU
よって角速度は
S=rfをも微分した式
を利用して、
W = 1 = 28
M
:週期T = 2 = 214[s]
図の
(2Xi) 運動方程式(図b)
√√37 m²² = euB₂
(中心方向
運動量70=m=eBR [1g・m/s]
(1)誘導起電力 V=-40
4t
to
って
図b
②
~(カ)
[V
器
»V=TW
~(キ)
このとき,V=GE CENTR
0=0+10
:E
E -- TRA [Vkm)]
~(7)
(ア)
イオンが中空電極の間隙を通過する時間間隙はである。
また同期の高周波電圧の符号は時間ごとに変化する。
よってイオンが間隙を通過するたびに加速されるには、
= (-1)
通過前の方が通過後より、電位が高くなくてはいけないので、
(n=1, 2, 3, …)
よって最小値は、
B
f=
[H]
2TM
(イ)
(i) 電極間の電位差 V(t) = 1, cos(2ift)
t=0のとき V(t=0)=1/6より、最初のイオンは、
BV のエネルギーを得る。
~(
このイオンがPに達したときの速さは、 ①より、
OBR
V=M
よって電子はこの電界から、
f=-eE=- 140
2TR At
AP=AIより、
運動量の原理
図C
Al = fat = R40
Ap=fat=.
AP fat = 40 (karm/s]
~(ケ)
Rが一定に保たれるための条件は、②より,
Po+AP=e(B+B)R
が成立すればよい。よって
AP = еRAB
AB =
STRAD
~~(1)
電極内でイオンは等速度運動をするため、
K=12Mぴ = (BRY
2M
(I)
イオンの回転周期Tが速さひによらずに一定である。
のとき(な)3/2より、最後のイオンは、
13V [J]のエネルギーを持ち、間隙を通過するたびに得る
エネルギーK'=OKである。これより、
1. B.R
=1
であり、そのときの中心からの距離では、②より,
Mu'
r =
! R[m]
B

ページ10:

物理
京都大 (97-前) III
次の文を読んで、
に適した式または数をそれぞれの解答欄に記入せよ。
図3(a)は, 位相差4を横軸にとり 次と (m±1) 次の明線を含む光の強度を
示したものである。
う
格子定数 d[m] N個のスリットを持つ回折格子に、 図1のように波長(m
の平行光線を垂直に入射させる。 スリットを通って角度 [rad〕 方向に回折する光を
dに比べて十分遠方の点で観測するとき、隣り合うスリットを通る光の道のりの差は
あ 〔m〕 となり. 位相差は4=
〔rad) である。 そして, 整数
を用いが
い
と表されるとき, 全ての回折光が強め合って明線となる。 以
4
下, この位相差を4m 〔rad〕 とする。 整数を明線の次数という。
4m-1
4
Am.1
(a)
図 3
8-4-4
08,82
(b)
ミ
図 1
光は一種の波動であり、 正弦波で表すことができる。 光の強度は振幅の2乗に等し
いので、各スリットからの光の波の振幅を A, とすると, 明線の位置での光の強度
K。 は, N. A を使ってK。え と表される。 実際には, 明線と明線との
間には弱い回折光が現れる。以下では,次と (m + 1) 次の明線の間での回折光
の振舞いを一般的に考察する。 なお、必要に応じて, 微小な角に対して, sinata,
COS1と近似してもよい。
観測点でのスリットからの光の波の変位は、 図2(a)のように, 大きさ A のベク
トルAのy軸への射影に対応し、その位相はx軸とA, とのなす角に対応する。こ
こで,N個の各スリットからの光の波を同じ大きさA。を持つベクトル An Az
A,..., As で表そう。隣り合うスリットからの光の位相差は全てであるので,
これらのベクトルは, 4m からのずれを 8 44mとして, Z (1) ように表され
る。重ね合わされた光のベクトル As A + +... + のように
表せ,その強度はAPで与えられる。
図3(b)は図3 (コ)の横軸を8にとり次の明の付近を拡大したものであるが,
重ね合わされた光の強度
これらの点は,図
が厳密に0となる点が存在する。
2(b)のベクトルの大きさが0となる条件から決まる。 8 = 0 から数えて〃番目
のこのような点は =
で与えられる。 以下,これを8.と書く。
次に、任意のまでの回折光の強度を求める。 図2(b)のように
.... 7 の始点と終点がすべて同一の円周上にあることに着目すると, A.. 8.
Nを用いて|= か となる。 図3(b)の8, 8, との間には極大値が現れ
るが。この値は8=+での15の値 K, に非常に近い。 この強度 K, と明
線の位置での強度K。 の比は N が非常に大きいときには一定の数となりを用い
き と書ける。 したがって,この極大値は図3に示されるように、
K.
明線の位置での光の強度に比べて小さいことが分かる。
=
2
次の明線の位相差4 に対応して次の明線が観測される角度を0 [rad), 位
相差 4 + ♂ に対応して回折光の強度が0になる角度 8' 〔rad] を 8m + β. とす
る。角度 8方向での隣り合うスリットからの光の道のりの差は、入.N.m を用い
と表される。 N が非常に大きい時には, βm は非常に小さくなり
け と表される。
8m = と書け, bm は d. 入, 8m を用いて b =
以上の考察から、 非常に多数のスリットを持つ回折格子によって作られる明線は,
非常に強く、鋭いピークを形成することが定量的に理解できる。
て
A
(a)
(b)
図 2
AL
(0.)
S
814
A

ページ11:

<分野> 波動
回折格子…N個のスリットの光の干渉
(4)これより,
Ki
K₁
(i)
経路差aldsind
40
~()
よってN番目の波はWN-1)番目の波より
AQ 手前なので、位相の関係式
=
□ a
中(x,t)- Pr(rtal,t)
が成り立つよって
$(2,t) = 2x (芋-^)
とおくと,
Ow₁ (2,t) = ON (2-40,t) = 2x († - 2-01)
一方、①④より、
より、位相差は
△=
= ON (7,t)- On√(2,t) = 44 = 27dsint
となる. したがって、干渉条件(明線)
~\)
よって経路差 Alは、
4m=2m
(m=1,2,3,..)
~(う)
(ii)
ここで
明線(N個のスリットからの光がすべて強め合う)とき,
合成波の振幅がNA。 なので、
より、
Ko = (NAb)
m()
(iii)
1階=0 のとき Aの始点とANの終点が一致するので、
その条件は,図2(b)より、位相の関係式
Nε= = n⋅2π (n=1,2,3,..)
-
:8 Inπ
N
~()
(=onとする)…①
図2(b)より、円の半径をとすると、余弦定理より,
A₁₂² = 7²+1²- 2r. caso ②
TA=7+2rrcs NO --
②②より,
As 1-cos No.
NO
2Sin 2
A₁₂³ 1-cosÔ sin²
Sin' No
B=A
(iv)
Ko A,' N'sin' N
となる。 よって
lim Ki
N+00
Ko
干渉条件
Am=
lim-
KON'S SI
(
3TL
=21 dsinom = 2mπ
::00 = dsinom = ma
(
~~(き)
4m+01=2dsinbm'=2m+2
Al = dsinom' = (m+ 1)λ
0m'=0m+Bm
dsinom'= sin(Om+Pm)
~()
⑤
=dlinemcosbm+caslm Sinβm)
N→P→0より,cosBm=1,sinfm=Bmとして、
dsinbow's disinfm+βmco0m)
= mλ + Bmdcashm
= mλ+ by droshm (Bm = bm)
よって⑤を代入して,
(m + 1 ) λ = m² + by drosm
N
bm
2
=
dcosom
mmm (H)
Sin 2
の中点8は、
8.8102=3(2+1)=(①)
K₁ = A + Sinπ
よって、この[1,2]における極大値は、
23
2
A
St 3πL
IN
に近い値をとる。

ページ12:

物理
東京工業大(97・前) 1
図のように、水平面に続いて、半径R の半円形の鉛直断面をもつ里が設置さ
されており、壁の頂上P点は水平面から高さ2Rの位置にある。 水平面上には、
質量Mの板が静止している。 板の上面にはパネ定数kのパネが水平に置かれ。
その一方の端が板に固定されている。 パネの他端には質量の小物体A がつけ
られ静止している。 いま、質量mの小物体Bが,水平に初速度vでP点から
壁に沿った運動を始めた。 重力加速度を9として次の各問に答えよ。ただし,す
べての物体は鉛直面内で運動し、 小物体の大きさ,パネの質量, 摩擦および空気
抵抗は無視できるとする。
(A)
(a) 小物体Bが壁に沿って離れずに円運動して, 水平面上に到達するため
の速さの条件を求めよ。
(b) 水平面上での小物体Bの速さを求めよ。
(c) 小物体Bは板と完全弾性衝突をする。 衝突直後の小物体Bの速度 2
板の速度 V, および板の上面の小物体Aの速度u を,m, M, v, で表
ただし、速度は,図において右向きを正とする。
[B] (c)での衝突の後, 板と小物体Bが再び衝突することはなかった。 衝突後
の, 板とその上の小物体Aの運動を調べたい。
(d) バネが板に及ぼす力を考えて,パネの自然長からの伸びがxであると
き板の加速度 α を求めよ。 ただし, 加速度およびパネの伸びxは右
向きを正とする。また, 板の長さは十分にあり, 小物体Aが板から離れ
ることはないものとする。
(c) バネの自然長からの伸びがxであるとき, 小物体Aの板に対する相対
運動の加速度 αを求めよ。
(f) 小物体Aの板に対する相対運動の周期 T を求めよ。
Spr
M
A
B
P
2R
R
350
neo

ページ13:

<分野>力学
[A]
(Q) 運動方程式(図1)
B:
m² = N+ my cost --
md
dt
=
mg sing
do
・・・
②の両辺にV=RGEをかけて、
mvd = mar sin
dt
do
#f
-T', sind o = $(100) 1"),
1
#(1m² + mg cost) = 0
Y↑
PCO.R)
[B]
(d) 運動方程式(図3)
(Rsing, Reas) A m
>1
R₂O)
図1
よって、任意の点において、即における初期条件より、
{mv²+mgRcost = fmv² + mg R ...'
①,②'を建立して,
{
v = √25²+291 (1-cose)
.262
N=m+mg(2+300SA)
OASTの間でNZO
ここでNの最小値は0=匹のときで
mdu
at
* Mav
dt
=
= -kx
(e) 相対加速度 α =
=
α+
-
⑤
M
==
du dv
dt at
k
mx
(123)
一般
m+Mz
MM kx (%)
mα = -kx-mam
m+M Rx
MM
-√ mM
d
==
よって角振動数 W
=
| M+MR 2",
周期T=
2n
W
=214
mM
(答)
R2(m)
N=m²² - mg
0
:. Vo = √OR (5)
(b)f=πのときV=1733+40R()
(C) 運動方程式(図2)
:
du
114 B : mat = f
· Mar=-f
at
U
レー
小物体A: m岸-0
172
(衝突した瞬間)
以上より、運動量保存則
mv + MV = P(-1) = MU₁ ···⑧
が成り立つ。また完全弾性衝突(e = 1)より,
③、④より、
U-D=-1
V-V
--4)
V₂ =
M-MU
M+m
·V = - M+m'
2m
-V₁
(答)
また運動方程式より
、
u=0 (初期条件)
(答)
b

ページ14:

B
物理
東京工業大(97前) 2
図に示すように、半径σ 〔m〕 と半径 a + d [m] の同心円にはさまれた領域
が水平面上にある。この領域には一様な磁界のある部分とない部分とが角度
〔rad〕 毎に交互に存在する。 磁界は垂直上向きで、磁束密度の大きさは
B[Wb/m²] である。 中心角の扇形のコイル OAB を同一水平面上に置き、
同心円の中心0のまわりになめらかに回転できるようにした。辺OAの長さは
a+dより長いとし,aはdより十分大きく、磁界のある領域の面積はaod
と近似できる。 コイルの抵抗は R [Q] であり、自己インダクタンスは無視でき
るほど小さいとする。また,コイルに流れる電流の正の向きはO→A→Bの向き
とする。
[A] コイルを中心0のまわりに一定角速度wo [rad/s] で時計回りに回転させ
ている。ただし、時刻 1=0 でコイルは磁界のない領域にあるとする。
(a)このときコイルに流れる電流を時刻![s] の関数としてグラフに描け。
また、その最大値 Z [A] を求めよ。
(b) (a)で,もしコイルの自己インダクタンスが電流の時間変化に影響すると
したら、その変化はどのようになるか。 グラフに定性的に示せ。
B
A
B
B
B
B
a
(c) (a)でコイルは磁界からOA または OBに垂直な方向に力を受ける。 こ
の力をの関数としてグラフに示せ。 ただし、時計回りの向きを力の正の
向きとする。 この力の最大値を式で表せ。 ムを用いて答えてよい。
[A](a)~(c)のグラフ
(a)
電流
0
0
[B] コイルを電源につなぎ, コイルの辺OAが磁界の中にあるとき正の電流
を流し、磁界のない領域にあるとき負の電流を流すとコイルは回転し始め
る。コイルの回転に対する抵抗力は,コイルが磁界の中を通過するときに幅
dの部分に働き、大きさは kawd [N] であるとする。 ここでは回転の
角速度で,kは定数である。 十分時間が経ったあと, コイルが磁界から受け
る力と抵抗力とがつり合って一定角速度で回転するようになった。 コイルに
かかる電圧の絶対値は一定で [V] であるとする。
(d)一定角速度で回転しているとき, コイルに流れる電流の最大値Z [A]
はいくらか。 また,このときの一定角速度 ω, はいくらか。
(e) このとき単位時間当たりにコイルで消費されるジュール熱」 〔W〕, コ
イルが磁界から受ける力のする仕事率 W, 〔W〕, 抵抗力がする仕事率
-W2 〔W〕 (W20) および単位時間当たり電源からコイルに供給され
るエネルギー W 〔W〕 を式で表せ。 ただし, を用いて答えてよい。 ま
た。J.W.W.W」の一部または全部を含む関係式でたがいに独立な
ものを二つ書け。
(c)
0
-- -W
R
B
(b)
電流

ページ15:

〈分野> 電磁気
[A]
= ch
(Q) 誘導起電力 V
①のとき
(c) (i) 2 ≤ t≤ (+1)
(の)より), DA間に両方向に電流が流れる
(i) (n-1)=t≤ n
v=_do_Bf._Baldi . -Bade (r, B間に成5向に覆えがなれる
Wo
6) m & ≤ x ≤ (+1) & NE
のとき
V=
dt
dt
dt
✓
abbad
I
R
R
(0)より,OB間に防方向に電流が流れる
Fmax=-IABd
(ii) (2n-1).
stsenのとき
I = X = = Bad
B
21
図2
R
以上より, In
Bad()
図1
R
IA
-JA:
(b) O→A→B→○を正の向きとする。
Ri+LC=RIA ((1)のとき)
[B]
-IaBdl
(d) 運動方程式(図3)
0 = InBd-kaday
キルヒホッフ法則(図3)
-
(E-=RIB ((1)のとき)
FE+0
=-Ple ((i)のとき)
⇒ E-Board=RIB
...
0
図3
キルヒホップ法則(図1)
①、②より、
Ri+L
=RI(G)のとき)
at
その一般解は、
RE
IDR+Bd
EB
Wh₁ =
(PR+Bed)a
(補)流れる電流IBは一定。
()
Racerd
-IBd
ittelecte
初期条件:
(1)のとき t=2mm のとき = In
=-
-₤lt-m₤
ラニーJ{1-2efelt-
i
(i)のとき=(n+1)のときュー
1-2e-flt_
I^{1-20 ₤lt - (n+1)/2})}
(e) W₁ = TBBd⋅ aw₁ = (B) ²-
W₂ = kadun aw₁ = (18B)'
また
W=EIB
J = RIB
2
これより、2つの関係式
JO=W-W2
1J=W-W2またはJ=W-Wa
-IA
12/3
(2)

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