ページ1:

指數與對數
一、指數律
1. 定義:
AER, axaxax... a=a^, an
2. 指數律
几個
(1) am an = am+n
ㄨ
⇒ am÷a^= am-n
(2)(am) =_amn 重要!!
(3) (a+b)= ax b
二、指數律推廣
1.0° = 1 (0≠0) <註>0°=無意義
2. a+= (at) [負指數→倒數]
án
3.a=yā (020)(分數指數→開方]
結論:
倒數←
小心
→ 開方
a
=
man
Double A

ページ2:

<註>
1.若次方為整數⇒底數可為負數
若次方為分數或無理數⇒底數70
2.ST不可以寫成一声
(-1) = = (1) * = √1 = 4√T = 1
會得出FT = 1 之矛盾結論
題型分析:
1. {
*a** = (x)³ a²* = (ax)²
=
-2X
√ 4x = (23) x = 22x = (2x)²
4X
-2X
2: 4x = 635* = 2²* = (23) -
√√x²² = (x =)³
3. x = = (x3)³
以上均為常見型態,再搭配 乘法公式
或是同乘以即可解題!
Double A

ページ3:

三、解指數方程式
1. 基本觀念: 0x20恆成立
2. 題型分析:
(1) afx) = ag(x)
⇒化為同底數,比較得 f(x)=g(x)解x
(2)二次方程式型:
⇒令x=t,注意t>0,則ax=(a2)x=t²
<註>常數次方,提到前面為係數
(3)X + QX型
⇒冷x+a*=t,注意t32
<說明>
由算幾不等式:
a4+ a* z
2
·≥√ax. ax = ax+ax ≥2
Double A

ページ4:

3.常見技巧分析
(1)等量次方= 0x=b ⇒ a= b3
<說明>
(ax)* = (b) a = b²
可看出次方之間是以乘除的方式在做移項
(2)變數代換
Et=a* 2×
t-a 2x 3x
4X
Ryt=0x 4x qx
注意20
(3)結合算幾
9x
527
1257,
好
50+12+2345
04+0 = 1² - 2 | 4x+4x | 94-9*...
注意!22
<說明>
令t=2x+2x
=> t² = 6³×+ 2³×)² = 6** + 2.3xxxx + 63
=(2)+2+(2)X=4*+4X+2
∴4*+4*=t²-2,其餘類推
Double A

ページ5:

四、指數相關應用問題
1. 成長問題
(1)增加k倍 ⇒ x(k+1)
(2)增為K倍⇒xk
說例:
→ 每過1日就乘以4
有隻細菌,每日增加3倍
則5日後⇒有4x4x4x4x4,X=1024X隻
2. 放射性半衰期問題
5日
設某物質原質量為B,半衰期為L,
則經過時間七之後的質量為:
<說明>
f(t) = D. (2) ←←半衰期
原質量
PLO
N
0
L
ㄦ
90075
2L 3L
717-5
4L
>t
Double A

ページ6:

五、對數
1. 定義:設Q>0.0≠1.b>0.
#ax = b₁₁) x = logab
其中a為應數、b為真數
2. 性質
(1)10gal =_0_(:0°=1)
(2) loga
=
(α=a)
(3) fogao=_n_(::0°=0)可直接消去 loga和a
QX
(4) X = X Ja to loga
註>
°= X⇒ ] = logaX,代回即可得 QogX-X
3.運算
(1) log ax + logo y = logaxy ( log to ‚ÁKA €)
logax - loga y = loga & (log RESEX, AK KAPR)
Mog
:longab(次方往外提為係數)
(3) log b = log b
-(換底公式)
loga
Double 4

ページ7:

六、科學記號與常用對數
1. 科學記號
X= ax 10²,其中a<10,hez
(1)Q可用於判別最高位數字,
即該數之最左側位數
(2)几可用於判別位數,即數量級之判定
<說例>
3×10122
30000000,共8位數
354x187235400000,共8位數
3x 10
0.0003,小數點第4位始不為
354x10年
0.000354,小數點第ㄓ位始不為O
2. 常用對數
若p=10²,則x=10g,以10為底時稱為常用對數,
可簡記為log P
<註> 10g2=0.3010⇒ 10310 = 2
=
log 3 0.4771
⇒ 10°
10 4711_
0.4771
=3
log 7 = 0.8451
100-845)=7
Double A

ページ8:

延伸,其他常用對數:
log 4= log 2² = 2 log 2 = 2×0.30/0 = 0.60 20
log5=log = log 10-log 2-1-0.3010 = 0.6990
log b = log 2x3 = log2+ log 3 = 0.3010 +0.4771 = 0.778 |
log8 = log 2³ = 3 log 2 = 3 × 0.3010 = 0.9030
log9= log3² = 2/093 = 2×0.4771 = 0.9542
以指數表示可整理如下:
110° = 1 · 100.3010 = 2. 1024771.
0.6020
10 = 4·106990
0.8451
·7.10"
=
= 5 · 10° 7381-
090808-10°
=
0.9542
3.-
=
6
= 9
Double A

ページ9:

七、首尾數
將正數X表成科學記號ax10²,1≤axio.neZ
即X=Qx10"時,可取常用對數估算
log x = log axion
<說例>
首數
= log a + log 10" = [n] + [ log a√ €
1. 試求230為幾位數,最高位數字為?
Ans: 230 = (18301020 = 109.03.
=
灬
.X10
=
10°03x109
得 230為10位數,最高位數字=1
2. 試求(音)40 小數點後第幾位始不為口,又為?
0.3010 140
Ans: (3) 40 = (!
100.4771
=
10-2.044
=
9....×10-8
10
0.956
× 10
-8
得小數點後第8位始不為0,為
Double A

ページ10:

The end

ページ11:

2
log₂(x)
In (x)
0
2
4
6
8
10
X
-2-
log 0.5 (x)

ページ12:

對數表
表尾差
× 0 1
2 3
45
67 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 4 8 12 17 21 25 29 33 37
110414 0453 0492 0531 0569 06070645 0682 0719 0755 4 8 11 15 19 23 26 30 34
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 3 7 10 14 17 21 24 28 31
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 3 6 10 13 16 19 23 26 29
141461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 3 6 9 12 15 18 21 24 27
151761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014 3 6 8 11 14 17 20 22 25
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 3 5 8 11 13 16 18 21 24
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 2 5 7 10 12 15 17 20 22
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765 2 5 7 9 12 14 16 19 21
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989 2 4 7 9 11 13 16 18 20
20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 2 4 6 8 11 13 15 17 19