ページ1:

No.
7. ①
Date
第7章
相関と回帰についての経験的方法
S1Pの推定
命題 7.3
上は次のように変形できる。
定義 7.1
n
X.Y: ある同時分布に従う確率変数
(2)(mm):この分布に関する大きさんの
無作為標本の観測値
(水)}
この標本から得られる入っと、それぞれの
証)
prop.
標本平均標本分散をえま成とする。
Sx=
4.3 より
-√ √ ½ ½ x² - (2)²
n
このとき、
XとYの平均値の周りの標本結合積率㎜いは、
Mil-
・11号(スニーズ)(y-g)で与えられるので、
XとYの標本相関係数を次で定めよと表す。
()()
nSxSy
n
X=1
同様に、
synn()
命題7.2
r:XとYの標本相関係数に対して、
-11
証) πえ。 W₁ = Ji- g (i=(n) thick.
i.e.
Cauchy schwartzの不等式より、
(黒ひげ(び) (呉び)
(2
(黒)・(黒び)(黒)
2
(黒(レース)())
(=
we..
(ニーモ)(2)
nSxSy
-1≤r≤1
等号成立条件
ヨ
•t &R sit.
また
prop
6.7の証明と同様にして、
Xととの結合積率mi(標本共分散)は、
7-7
i=1
広島となる。
mi
SISY
nΣxiz
LX.
\ {n Σx² - (Ex)" }. {nΣy ² - (Σy=)² }
irを求めるときは prop 7.3に基づいて
計算した方が簡単に求まる。
定義 74
確率変数X.との同時分布から
無作為抽出によって得られた、各標本値を..
平面上に図示したものを、散布図という。
the
= tv
となるとき、
i.C. (x...).
(
yn)が一直線上にあるとき、
KOKUYO LOOSE LEAF 356mm ruled×41ines.

ページ2:

No.
72
9
第2の信頼性
確率変数(X・Y) の同時分布から。
大きさんの無作為標本をとるとして、
例7.6
P=0.8の同時正規分布に対し、
n=28の標本から得られた標本相関係数に
が、95%の確率で含まれる区間を求める。
それらの標本の観測値を表す確率変数の
74 E. (X,Y), (Xn.tm)とする。
Z・・
- ½ log 11
tr
とおくと、
このとき、各(Xi.)は独立に(XY)と
同じ同時分布に従う。
性質 7.5 より
2-
1/29
J2. W 1-
また、変数{x} {たぶの標本平均
標本分散をそれぞれ、又.F.S
とおく。
1
Z~N(1/1229.12/25)
P{lWl=1.96} =0.95 より
512-1/2191 -= 1.96.
とおくと
W~N(0.1)
これらの確率変数から、標本相関係数は..
Def 7.1 に基づいて、
1/2 bag9 -0.392.sz=1/20g9
+0.392
(-)(-F)
表わせる。
Itr
1:413.
nSxSY
•s log
ト
4.11
#
S 2.981
= 19.71.
これを解いて.
0.61 = + = 0.90
図
上の確率密度関数の導出は省略するが、
母数
nにのみによることがわかっている。
しかし、eの大きな値に対しての分布は
明らかに非正規型となり。 Pの推定値
としてのの正確度として、orを用いる
だけでは不十分である。
例 7-6 より Pの推定値としての
標本を
かなり大きくとらない限り、あまり信頼できない。
また、(x,t)が同時正規分布に従わない
ときはそもそも性質7.5が使えない。
n=9,p=0.8に対する
上の分布
I
-1
0
0.8 1
r
しかし、(XY)が同時正規分布に従うとき、
次の有用な性質がある。(証明は略)
☆
性質7.5 (Fisher の変換)
同時正規分布の大きさんの標本相関係数
このとき、1/2kgとおくと、
2 ~ N ( ± by 11, n = 3)
Z

ページ3:

No.
7.
Date
W
上の意味
確率変数XYが与えられたとき、花ととが
独立かどうかという問題を考える。
f(x,y)=(x-Y)の同時分布
f(x)
:
Xの周辺密度関数
例7.8
同時正規分布から、大きさ30の標本をとって..
Ho:
1P=0に対し、Hitoを検定する。
このとき、Hが十分正しいと主張できるような
標本相関係数の条件を求める。
大きさ 0.05の棄却域を求めればOK.
g(y) Yの周辺密度関数として。
X.Y: 独立⇔f(x)=f(x) g(y) だが。
Ho: 真のもとで..
Z₁ =
+ log HF Erick.
2 ~ N (0.27)
この関係が成り立つかを判断するのは
非常に大きい標本が必要で非現実的である。
> W :=
Z
3√3
とおくとZ~N(0.1)
そこで
XY独立(XY)に関するある測度が0.
となるような測度を導入したい。
このとき、適当な大きさ 0.05の棄却域は、
Twl = 1.96.
|| log |+1||
M
1.96×2
3
0.754
Hr
S
0.47.
24/2 = tr
+r
命題 7.7
1-r
(x.r) 相関係数の同時正規分布に従う。
このとき、 XY: 独立p=0
これを解いて
1112 0.36
証)) prop.6.12 より明らか。
例7.9
⇔) Def.6.14 の f(x)に、P=0を代入すると、
f(x.y).
100 %, 12 7 [117]) = (14) ]]
同時正規分布の大きさ50の標本からr=0.7を
得たとき、Ho: P=0.8に対して、HiP≠o.8.を検定する。
+
Ho:真のもとで、
Oy 27
f(x)(8)
(
x
22120
e
-Z = = = = log 1th Etick. Z~N ( 1/1 log 9. #8)
-W :-.
とおくと、W~N(0.1)
大きさ 0.05の棄却域として1w11.96が適当。
.
prop.7.7より (X・Y):同時正規分布に従うときは、
XY間の独立性の判定はP=0かを判断
r = 0.7 &');
-2=.
0.88
すればよく、標本相関係数を用いれば、
P=0が適切かどうかがわかる。
ie.
W = 4√3(0.88-1.10).
-1.52-196.
.
(XY):同時正規分布に従っていても、
よって、18とはいえない。
Pによって測られる関係が、必ずしも実際的に
意味をもつとは限らない。(擬似相関)
KOKUYO LOOSE LEAF ST 6mmed 41 ins

ページ4:

No.
7. ⑦
Data
4 線形回帰
2つの確率変数間の回帰曲線を使って、
一方の変数の予測・推定を行うことを考える。
この節では、回帰曲線が直線となる場合
(線形回帰)について論ずる。
●同時正規分布に従うとき
(XY)は同時正規分布に従うとすると..
Cor 6.18 より とのXに対する回帰曲線は直線で
My/x = My + p. Tx (x-μx). であった。
このとき、X=xに対して、Y
で予測
されるので、母数・Mr.Mr. Gx, or, P. を測
すればよい。
これらは標本から容易に指定できるので、
☆
命題7.11
(XY)から大きさんの標本がとられたとして。
yのに対する日帰曲線の型を..
f(x)=a+b(一)としたとき、
最小二乗法により、a.b を定めると
a= y,b=
mil
Sy
=
r.
St
Sx
(ただし、mu: ・標本結合積率 r: 標本相関係数)
証) G(ab)点(は-f() とおくと。
G(ab)=(y=-a-
1- b (x=-7))²
G(a,b)が最小値をもっとき.
2G
9G
=
= 0 より
ab
ga
₤2(-a-b (x=-)) · (-1)
=-0
+r
Myle に対しての標本推定値vYbは、
μ7lx
テナート (ユー)で与えられる。
2 (1-a-b (z1-2)). (- (2₁-ž)) = 0
Sx
整理して。
◎一般の同時分布に従うとき
定数7.10
(XY)ある同時分布に従う確率変数
ここから、大きさんの標本をとり、各標本値を
(x..J.), (zu. Jn) £73.
yのxに対する回帰曲線の型を
f(x) (ただし、各項の係数は未知数)と
したとき、
an+b(スニース)
=
黒(スニーズ)+b(スーモ)・点(スーモ)
黒(スーモ)
20なので、
a=g
b =
Σ(22-7)2
(スーモ)
7. (x²-2) ½ - ½ (x − x y z ) - n xy + n x y
z=1
--
= (x Jr - - x + x³)
[=
(スーモ)(一)
(yu-f(x)が最小となるように、
Σ(x²-) (2-)
MII
b =
= t.
(スーモ)2
Sx
Sx
逆にこのとき、G(a,b)は、最小値をとろことは、
f(x)の各項の係数を定める方法を
最小二乗法という。
ここでは、最小二乗法に基づいて、回帰曲線を
求める。
容易に確かめられる。

ページ5:

No
7.⑤
Date
例 7.12
X 農場への給水量
Y:エーカーあたりの収穫量
Xを一定間隔で変化させたときのYの値の
データと(XY)の散布図は次の通り。
例 7.13
yのに対する回帰直線10
原点を通る直線 y=exであることがわかって
いるとき、最小二乗法に基づいて、Cを求める。
G(c)=(yt-cxi)が最小となるとき、
K
12
18
24
30
36
42 48
dG
y
5.27 5.68
6.25
7.21
8.02
8.71 8.42
dc
0より ·2 ± (Y: - cx=)·(-x:) = = 0
r
9
2
7
整理して、洗
←
※との間には
直線的な関係
があるとみてよい。
よって、C=
黒
(十分性の証明は略)
x=1
6
5
0
12 18 24 30 36 42 48
このとき、yの文に対する回帰曲線を
= a + b(x-)として、 求める。
=
元= 30 J = 7.08
= 1044 より
Sx² 1044 -302-
証)
命題 7.14
yのxに対する回帰線が
=r()であるとき..
回帰直線値と観測値の標本相関係数は
xyの標本相関係数と等しい
12) 7.11
144
+
= ± 2 ( 3 · 1/2(x-2))
また
=
227.21 より
-} +
tr
± √(x-2).
Mil = 227-21-30×7.08.
14.81
y
h
(-5)²
- (2)²±₤ (x-2)²
よって、
prop.
7.115.
14.81
a- 7.08 b.
TOO 0.10
.
144
よってyのに対する回帰曲線は…
y
= _7.08+0.10(火-30)
=
=0.10x -
4.
この例で、Xは確率変数ではないが、最小二乗法は、
標本が、Xが選ばれた値であっても、無作為標本
であっても適用できる。
mil=
r²²
r.
r. St
· MII.
(
(x²-) (-)
mii
mil
SYST
SISY
KOKUYO LOOSE-LEAF 31837
med: 41

ページ6:

G =
+2.d.d.2
+1.5.1
V
Gが最大値をとるとき、 各みに対して、
2G
22r
V.
20
20
225
- 0
27
mar
= 0
Uav
✓ gar
0
より
20
G
02r
(+)
注
No.
7. ⑪
Date
定数倍しても、線形判別関類の分類に
影響しないので、実際は、□を解き
axのうち1つ(例えば)が1に
なるように、定数倍することが多い。
線形回帰関数と線形判別関数の違い
ⅰ) 線形回帰関数:
従属変数の値を予測するための関数
導く過程でYの値を利用する。
ⅰ) 線形判別関数:
ここで
2 +2d-bd-2+
20
225
2 ar
± 2-d⋅td. 22
22
didr
dedr/
- (drdi, drde) a + ta..
2-dr-(d₁.de) 2 (dpdg = dqdp).
例 7.22
全体を2群に分類するための関数
従属変数というものはない。
次のデータは健常者(A群)」とある感染症の?
患者(B群)に対して、血液中のある物質X1とX2.
含有量を測定した結果である。
の
また、
27
•S-2 +
ta-s-
21
224
22+
72r
A群
XL
X2
B群
X1
X2
Sir
-(SH, Six)-2 + tx
1
6.36
5.24
1
6.00
4.88
2
Str
5.92
5.12
2
5,60
4.64
-2 (Sn. Se) 2 (: Spg - Sgp).
3
5.92 5.36
3
5.64
4.96
4
6.44 5.64
4
5.76
4,80
(水)に代入して、
5 6.40
5.16
5
5.96
5.08
2dr (di...de) x=G.2 (S. Sta)
6
6.56
5.56
6
5.72
5.04
(SH,
Sre). A =
c.dr
7
6.64 5,36
5,64 4.96
(ただし、 C =
(dude)
に関係しない定数)
8
6.68 4.96
8
5.44 4,88
G
9
6:72 5.48
9
5.04 4.44
10
6.76
5.60
10
4.56_4.04.
これが各とに対して成り立つので、
11
6.72 5.08
11
5,48
4.20
5.2=
cd
12
5.76 4,80
2. C: S'd
このとき。先をGに代入すると、Cは約分される
ので、1としてよい。
このデータを用いて、A群と、B群に分類する
線形判別関数を求める。
-2= ·Std.
(十分証明
(略)
KOKUYO LOOSE LEAF
-51681
6mm ruled41

ページ7:

Ma
7. ⑥
Date
85 多重線形回帰
変数Yをとと関係のある変数XX
関数g(x1)から予測することを考える。
よって、
G = = { J₁ - J - C₁ (x-71) - - ((x82-7+)}²
各j=1..に対して、
26
-039.
この質では、34に引き続き、g(x.....X) を
線形関数 (ze. Xu..., X*の1次関数)に
限った上で最小二乗法に基づいて、g(x )
acj
-2-a (x-7) --- CA (74-70) } (x32 - 7 ) = 0
を求める。(これを最良線形予測関数という。)
=
Σce (x-7) (x²-7)
11:15:1
両辺んで割って、STACLSI
715
(XoXm)in変数の同時分布..
i.jenに対して
sig=sxxy
XisXjの標本共分散
このとき 次対称行列 S-
- ($5)
(標本総合穫率)とおく。
ε..
(X...Xm)の標本分散共分散行列という。
命題 716
(X...X)から、大きさんの標本が
とられたとして、とをX1Xの線形関数
これを各手に対して行い、まとめて行列で書くと。
SX2 Sx.x
C.
SY
SYXA
SxPx₁
・・・
Sxaxn
Cn
S-
Cr
(i)
(1)
SYXI
= S
(*)
SYXE
-
g (TIR) CoCr()… Ca(ズー)で
予測するとき、最小二乗法により、Co,・・・・Cを定めると、
STXI
逆に、(水)が、最小値を与えることを示す。
ci
co = y,
S
g(x)+(-)+
+
ĉa (xa-7×)
に対して(yg)
=
(19)² を示す。
ここでS: X1Xxの分散共分散行列
(-9) (y-g+(8-g)) ^
証) G
(y-g()) とおくと、
(-8)+(g-g)+2(-)(-8)
G == Σ { 1.- Co - C₁ (xn - ž₁) - CA (TAL-IR)}²
..
(お)=(は)+(8-8)
Gが最小値をもつとき、2G
aco
26
=
= 0
2
土(y-g)(g-g)
G
= 0より
aco
C₁
ここで、 1 ==
(xx)}(-1) = 0
CR
24-6-(2-7) -
-2 (3-Co) - ₤ (x-x1)- - Ca₤ (x-70) -0.
C
ー
=
よって、点(d-co)=0より..
Co=
=
g
元
:
$ ==
(
SYKI
SYXE
とおくと

ページ8:

No
7.0
Elath
☐ (3-5)(x-1)}-{^(-) (-)}
= {(3-3)- c(x-x)}· * (x=-x)·((-ĉ)
= {(3-3)-(x-7) - *c (x²-7). " (x-7)}· (c-ĉ).
よって、
(4-8) (8-8) (* - *cs) (c-ĉ)
0
=
(C5)
(y-8)(g-g)=0
6 曲線日帰
※に対するとの回帰曲線が本来非線形で、
あるため、散布図上で、直線でとを予測する。
ことができない場合を考える。
⑦多項式回帰
理論的根拠から特定の型の曲線が変数間の
関係を表すと期待できるとき以外は多項式を
その変数間の関係を表わすものとして用いる。
£ ( y −ĝ)² + £ (4-8)² + (-3)²
多項式g(x)の次数を友としyを
g(x)+a+
2
(4-9)
この正規方程式はX,X2..
別々の変数 X.X2,
axxx で予測するとき
X* E
X&とみなすことで、
以上より、最小値を与える。
S4と同様にして、
ao =
(*)を正規方程式という
a
SYX
を得る。
S
例 7.17
次のデータはY:卒業成績 X1 一般知能指数
X2 勉強時間に対するものである。 (n=450)
Σ (21-7)² = 250. エフューティア=36
(1)(y-y)=106
(ューティ)(y-g)-22
(スノー)(2)=33
これから、大人と先に対する.yの最良線形予測関数
を求める。(ただし、πパスx=0でy=0とする)
prop
7.16より
1 106
450
22
B
250 33
T. (PR) (c)
450
250 33
3336
(9)·(63)
3336
7911
7911
-1
36-33
-33250
(3090)
よって、y=0.39xL+0.252
106
22
22
(3)
ax
(ただし、S:X.X*の標本分散共分散行列)
yの予測に、何次の多項式を用いれば良いのか
はっきりせず、様々次数の多項式を比較して、
最適なものを決めるとき、 上記の方法では、
次数を変える度係数の組をはじめから
計算し直さなければならず、非現実的
•
Pi(ス) PJ(x):それぞれ、次数がこの多項式
この
とき。これに対して、
Pr(x).ρ(x)が直交である。
P(x)・P(24)
P(x)が正規化されている。
def
P₁ (ra) - 1
KOKUWO LOOSE GEAR

ページ9:

例 718
点 0.1.2.3.4
証)
G・
(1-g()) とおくと、
に対して。
正規直交多項式列 Po(エ), Pi(x), P2(x)を求める。
G = ( ; - a po(13)-
--
0g
OR-PR (73))²
Po(ス)ia Pi(x) bot bix, Poux)= Co+CX+
とおく。
各 a(icol)で微分して、
(ただし、最大次数の係数a,bi, Cz0 )
Polx) = 1 59
5a² =
2G --2
Σ (83-20 Po (kg) --- ·PR(23))-P(45)
201
ao より
a =
√5
Potx) - 1/1/
Po(x)・Pi(x)
=0 より
5a (bo+2bi) = 0
Gが最小値をとるとき、誰で 05)
14 P₁₂) = ( P P = 0, 1 P² = 1) •
-A2 0 Σ
a;= ;- P(x3) (十分性の証明は略)
5:1
bo=-2bi
pi()
.
1 より
10bi=1
-2
JIO
- Pi(x) =
Jio
b0より b₁ =
± Po(x) P(x) = 0 5).
20
5a (co+2C1+ 6c2)
Co+ 2C1+6cm
· P(x)- P₂(x) = 0 *').
:
10
TO
(C₁+ 4Cs) =0
CI+4C2=0.
例7.20
(X,Y) 同時分布で、=0.1.2.3.4に対し、
の
y=0.1.2.4.8が得られた。
と2次関数g2(x)
これを用いて。スの1次関数gi(x)とユン
0
それぞれによって、物を予測する!
0
9
例.7.18と
prop. 7.19 172.
15
ao=
J5
a1= £ 4 - P₁ (xx) =
19
TO
②
a2=
点ρ(22)
=
0.05).
Co= 2C₂.
C₁ = -4C₂
:.
9₁(x)
15
=
+
P(x)
1
14c2=1
x= 0
C20 より
C₁ =
赤
P₂(x)=
x²-4x+2
√14
g2(x)
B
19.2-2
√TO TO
7
D ·1.9% -0.8
x²-4x+2
1.9x-0.8+ -x
√14 JR4
= 0.5x² -0.1x + 0.2
Y
8
-g₁6)
命題 7.19
(Y.X)から大きさの標本をとり。
6
yag(x)=aoPo(x)+
akPa(x)で予測する。
5
このとき、最小二乗法により、Qo... axを定めると、
+
n
0 = yj - P₂ (2)
· (i∙ 0.1k)
3
2
・g2(x)
より高次の項agai・Pal(x)を加えても、
それ以前の項の係数は不変
0
2 3 4
X

ページ10:

No.
7.⑨
Date
logd=-0.423
ie.
d = 0.66
0.336
=
i.e.
ß 1.40
その他の回帰関数
2変数の関係が理論的考察から、わかって
いるとき、その曲線の方程式に含まれる母数を
推定すればよい。
よって、
log P
しかし、一般に、多項式以外の回帰に対する
最小二乗法による指定は、解くことが困難な
正規方程式を生じやすい。そのため、最小二乗法
を用いる場合は、工夫が必要である。
y = 0.66. (1.40) *
10
J=0.66. (1.40)*
例 7-21
.8
そのXによる回帰曲線の型が、たのである。
7
ことがわかっている。
6
この曲線の対数をとることにより、次のデータ
に対して、最小二乗法でQ.Bを推定する。
5
・4
3
2
1
2
3 4 5
6 7 8
y
1.0 12 17 2.6 35 4.8 6.8 10.0
y=xpxの対数をとってい
logy = bagat.xbgp.
logy. 2 := log α, Â := log ß EL2/?.
黒(Z(色))が最小となるよう、
Q.食を定める。
T
1
2
3
4 5 6
7
8
Z
0 0.182 0.531 0.956 1.253 1.569 1.917 2.303
0
1
2
3 4 5 6 7 8
X
対数変換した後に、最小二乗法を用いて
「いるので、もとの変数にもどして考えるとこ
小さいに対する予測の誤差は小さく、
大きいxに対する予測の誤差は大きくなる。
ようは当てはめ方になっている。
求めやすい正規方程式が導びけるような
変数変換が存在しない回帰関数の型もある。
(y=a+b.ex etc...)
これより=45. 2 = 1.089
x² = 25.5
IZ = 6.66
なので、
その場合、最小二乗法以外の当てはめ方が
使われる。
√x² - 25.5-4.5² =
5.25
Sxe=6.66
-
4.5×1.089 =1.763.
よって、prop.7.11より
Sxx
0.336
ST
= -0.423
KOKUYO LOOSE LEAF 16BT 6mm ruled 41 ne

ページ11:

No.
7. 10
Data
87.
線形判別関数
(記号
2つの集団(群)に対して、新しい個体が得られた
}
KAZ' ==
とき、その個体がどちらの群に属するのかを判別したい。
この方法として、2つの群の各個体から得られる
複数の測定値(変数)から、適当な線形結合
をつくって指標とし、各個体の指標の値が
境界値より大きいか小さいかによって、どちらの
群に属するのかを判別する。
A群の二番目の個体の測定値
(地についても同様)
XCA
.
個の変数XXtを用いて、個体を
A群 B群のどちらかに分類する問題を考える。
左の変数の線形結合を
z=2XL+…+aXkとする。(
==
(1)
A群の個体の測定値の平均
(我についても同様)
d =
(i)
d&
3185(スペース)(スペース)
+
(一種)(スー)
S
(-spf)
次対称行列
CR)
とする。
ZがA群 B群を適切に判別できるように、
MARを定める。
同じ群内での値の変動はできるだけ小さく、
2 群間の値の変動は、できるだけ大きくなる
ようにする。
ZAZB各群内の値の平均
ZAZB各群内の二番目の個体の値
NANB各群内の個体の総数
同じ群内での値の差の測度として、
として、
このとき、
ZA == ZA
NA
についても同様
NA
1
AI
NA
1
死より
NA
13
(ZA - ZB)² = ( 1 πA - tr. )².
=
(+1:d)²
NA
i=1
(ZAC-ZA)+(ZBC-Z)を用いる。
2群間の値の差の測度として、
(ZA-ZB)2を用いる。
このとき、
·G ==
(ZA-ZB)2
(ZAz-ZA)² + (ZB2 - ¸Zp)²
p/"
・最大となるように、Ni…えたを定める。
また。
nA
Σ (ZAz-ZA)² +
+
ICA2-
ng
(ZB2-2
+
2(XAL-TA) - (XAL-TA)] 2
ta [f(xor - Tp). + (xor - 70) ] 2.
+ 2 ( 2 (AL-FA) · (XAL-FA).
12-
+(-7) · (x²-18)] 2

ページ12:

I 規準正規分布の面積
表中の数字はzの正の値と0との間の曲線下
(全体の面積を1.0としたときの)を表わす.
の値の場合の面積は分布の対称性から求まる。
面積
が負
385
0
Z
00 .01 |
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
1.0 .3413 .3438 .3461
0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 ,0160
0.1 .0398 0438 .0478 .0587 .0557
0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948
0.3 1179 .1217 .1255.1293 .1331
0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549
0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2703 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
.3485.3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621
1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830
1.2 .3849 .3869 .3888 .3907
.3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015
1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115,4131 .4147 .4162 .4177
1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319
.0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0596 .0636 .0675 .0714 .0753
.0987 .1026 .1064 .1103 .1141
.1368 .1406 .1443 .1480 .1517
1.5 .4332 .4345 .4357 .4370
1.6
1.7
1.8
.4382
.4452 .4463 .4474 .4484 .4495
.4554 .4564 .4573 .4582 .4591
.4641 .4649 .4656 .4664 .4671
1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738
.4394 .4406 .4418 .4429 .4441
.4505 .4515 .4525 .4535 .4545
.4599 .4608 .4616 .4625 .4633
.4678 .4686 .4693 .4699 .4706
.4744 .4750 .4756 .4761 .4767
2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817
2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857
2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890
.4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916
2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936
2.3
2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952
2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964
2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974
2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981
,4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986
2.9
3.0
.4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989. .4989 .4990 .4990

ページ13:

No
7. ⑫
x = 6.465 x
=
d=
また
x=1
5.55
(x)²
(
·0.597
460.736
5324.
A群 B群のそれぞれに対して値を計算すると、
=4.727.
より。
A群
Z
B群
Z
0.915
1
8.959
8.420
2
8.460
2
7.901
3
8.579
3
8.100
4
9.237
4
8.141
5
8.959
5
8.480
6
9.318
6
8.212.
7
9.299.
7
8.100
8
9.140
8
7.860
9
9.438
9
7.242
10
9.538
10
6.564
10
9,240
"
7,563
12 8.141
莉(大袋)
=
312.278
(2009)²
-
371.393.
(ス)
269.325
x=378-730
大・大=315978
F).
SH(スポ)(天+ (スポ-12(天)
S2
512
=2.676
-
(大(文)+(大)-12(天皇)
= 1.754
1,295
+
-
7
A群の2番目と、B群の5番目が僅かに
重なり合っていることを除いて、分類できている。
値の境界を、8,500と定めると、線形判別関数は
X1+0.496X2 = 8.500
X1+0.496×2=8500
xx
***
x
A群
7:
a =
21
・(x)
3.017
2.676
1.295
1,295
1.954)
1.754-1.295
-1.295 2.676
0.915
0.597
0.915
) ( )
0597
6
0.138
(黒)
0.278
z =>
0.278x1+
0.138×2.
灯が1になるよう定数倍して..
z =
+0.496π2
B群
5
6×2