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背理法を使います。
√5 が有理数で √5 = p/q で表せると仮定する。(但し、p,qは互いに素の整数)
√5 = p/q の両辺を2乗
5 = (p/q)²
p² = 5q² ①
①の右辺は5の倍数なので 左辺p²も5の倍数。p²が5の倍数であるためには、pが5の倍数。
p=5k (kは整数) と置くと ①は
(5k)² = 5²*k² = 5q²
5k² = q² ②
②の左辺は5の倍数なので 右辺q²も5の倍数。q²が5の倍数であるためには、qが5の倍数。
ここで、p,qはともに5の倍数となるが、これはp,qが互いに素の整数であることに矛盾する。
よって √5 = p/q で表せるとした仮定が誤りである。
従って、√5 は 無理数。