(13) students を修飾する関係代名詞節が
[ ( ) want to enter the speech contest ]
になります。
先行詞は人なので関係代名詞は who を使います。
(14)選択肢は全て steal (盗む)の変形ですね。
「彼の古いチャリは( )」なので
答えは過去分詞の stolen ですね。
(15) I'd like to 動詞 で「~して欲しい」ですよね。
want to などもそうですが、to の前に人を入れると「人に」という意味が強調されます。これが今回の用法。
ということは、後ろには to 動詞 が入るはずです。
こういう時は意味で考えずに、英語だけ見て文法で考えた方が楽ですよ。
(すでにやってたらすみません💦)