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m様
文字が多く使われて思考が混乱するような問題ですね。質問は9以降ということですが、問題を整理することから7から解説していきます。
【7】
放物線 y=x^2+2px+q の頂点が直線 y=mx-1 上にあることから、放物線の式を平方完成して、
y=(x+p)^2-p^2+q
より、頂点の座標は(-p, -p^2+q)であり、
-p^2+q=m×(-p)-1 ･･･①
①を変形すると
q=p^2-mp-1
つまり解答はエとなる。
【8】
Cの頂点のx座標が-2であるとき、p=2 となる。このとき、頂点のy座標をmを用いて表すと
-2^2+q=-4+2^2-m×2-1=-2m-1
放物線Cのグラフが下に凸であるから、Cがx軸と異なる２点で交わるのは、-2m-1<0 を満たすときである。
m>-1/2
つまり解答はアとなる。
【9】
Cがx軸より切り取られる線分の長さは、x軸と交わる異なる２点のx座標の差である。Cとx軸との交点のx座標は次の方程式を解くことで求まる。
x^2+2px+q=0
x^2+2×2x+2^2-m×2-1=0
x^2+4x-2m+3=0
解の公式より、
x=-4±√4^2-4×1×(-2m+3)/2×1
=-4±√4+8m/2
=-2±√1+2m
x軸との交点のx座標は、-2+√1+2m, -2-√1+2m であり、その差は
(-2+√1+2m)-(-2-√1+2m)=2√1+2m
つまり解答はウとなる。
【10】
L=6のとき【9】の解答より、
2√1+2m=6
√1+2m=3
1+2m=9
2m=8
m=4
つまり解答はイとなる。
【11】
pの値の変化によるqのとりうる値について考える。【7】の解答より、q=p^2-mp-1 これをpについて平方完成して
q=(p-m/2)^2-(m/2)^2-1
つまり、qは p=m/2 のとき最小値 -(m/2)^2-1 をとる。
よって qmin=-(m/2)^2-1=-m^2/4-1
つまり解答はイである。
【12】
√|qmin| が整数となるのは |-m^2/4-1| が平方数となるときである。k^2=|-m^2/4-1| とする。(kは整数である)
k^2=|-{(m/2)^2+1}|
=(m/2)^2+1
整数同士の差は整数であるから、(m/2)^2 も整数であり、mが整数であるから(m/2)^2が整数となるにはm/2も整数となる。k^2、(m/2)^2ともに平方数であり、2数は連続する2数である。
それを満たすのは k^2=1 かつ (m/2)^2=0 のときである。つまり、m=0のときである。
よって解答はアとなる。
あまり、上手な解答ではありませんが上記のようになります。
丁寧でわかりやすい解説ありがとうございます🙇♀️
理解できました！