Question

rika． 無浮上

私の解答では不十分でしょうか?
極値について確認しなければいけないのはなぜか教えてください。

x=1で極大値6,x=2で極小値5をとるような3次関数 f(x) を求めよ。

411
x=3で極小
■問題の考え方■
f(x)が3次関数であることから
f(x)=ax2+bx+cx+d (a≠0) とおける。
これが極大値 6, 極小値5をとる条件を考える。
f(x)=ax+bx+cx+d (a≠0) とする。
f(x) を微分すると
f'(x) =3ax2+2bx+c
f(x) がx=1で極大値6をとるとき
f'(1) = 0, f(1)=6
よって 3a +26+ c = 0
①
a+b+c+d=6 ....
②
また, f(x) がx=2で極小値5をとるとき
f'(2) = 0, f(2) =5
よって 12a+4b+ c = 0
(3
8a +46 + 2c + d=5
④4)
① ~ ④ を解いて
a=2,b=-9,c=12, d=1
(これはα≠0 を満たす)
このとき

f(x) =2x3-9x2 +12x+1
f'(x) =6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)
これより, 次の増減表が得られる。
x
1
***
2
f'(x) +
0
-
0
+
極大
極小
f(x)
6
5
よって, f(x) はx=1で極大値 6, x=2で極小
値5をとるから, 条件を満たす。
したがってf(x)=2x-9x2+12 +1

=2.
Th
2-2
Date
数女
No.
411 0 fax = ax² +hx²+0x+d (040) cab.
free = 39x²+26x+6,
(1471 (19) = 0, f(x)=0+
条件で(4)=0,
8111=62121=9
Tahu zatzh + c = 0 • @
8/20 +4 b + c = 0
a+b+c+d=6-0
80+46 +26+d=9-0
- 7a +36 + c = -1 - ⑦
040-2b9c = 12 d. 1
これはaf0を消す。
Lath of fil = 2x 3-9x f/2x+1

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

和

不十分になります
n次関数においてx=△で極値をとるならf'(△)=0ですが、
f'(△)=0であっても、x=△で極値かどうかはわかりません
その成立を確かめています

rika． 無浮上

丁寧な説明をありがとうございます🙏🏻
理解できました!

和

混乱を懸念して、念のため補足です

仮に「逆の確認はいらない」としてみましょう

すると、たとえば、別の問題
「x=1で極『小』値6、x=2で極『大』値5をとる
ような3次関数f(x)を求めよ」
の場合、f'(1)=0, f'(2)=0, f(1)=6, f(2)=5を解いて
a=2, b=-9, c=12, d=1が答えということになります

しかし、これは間違いで、この問題の答えは
「条件を満たす3次関数f(x)は存在しない」です
逆を確認することで、それはわかります
※このように、求めよと言われたものが存在しない
という問題は（嫌な問題ですが）あり得ます

ということで、やはり逆の確認は必要です

----------
逆の確認がいらないような気がするのは、
3次関数の増減（グラフでいえば形状）を
既知としてしまっているからです
ふつうはこれを前提としません

知識として形状を押さえておくのは、
マーク式で途中式がいらないテストや、
記述式でもとりあえず答えを得ておくときには
役立つし大事なことですが、
それを前提として逆の確認が不要、
とはなりません

なお、理屈としては不十分ですが、
答案として減点になるかどうかは
採点基準しだいです

rika． 無浮上

ありがとうございます！

Answer 2

ととろ

なのであなたの解答は十分です
解説が元の式に代入して増減を調べているのは確認のためですね

3次関数が極値を2つ持つならそれは極大と極小になることは言えます
それは、微分して=0とおいた時の解が異なる2つの実数解を持つことと同値になるからです
そして異なる2つの実数解を持つことは問題文に含まれています

ととろ

3次関数f(x) で f'(α)=0, f(β)=0
かつ
x=α の時に f(α)が極値にならない
x=β の時に f(β)が極値にならない
のは
α=β
つまり重解の時だけです
問題文では α≠β
なのであなたの解答で十分です

Answer 3

ユン

十分だと思います
3次関数でf'(x)=0のxが1 2(1=/=2)なので極値を二つ持つのは確定です
その上、f(1)=6, f(2)=5で、f(1)の方がf(2)より大きい極値なのでf(1)が極大値、f(2)が極小値になるのも確定です
f('1)=f'(2)=0 f(1)=6 f(2)=5を満足する3次関数は１つしかないので問題ないです
解説の最後の極値判断は検討するためだと思います