Question

ぽちゃこ

この問題なんですが
赤線の所と青マーカーのところがよく分かりせん。
すみません、何が分からないか言語化できないのですが教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️⸒

a,
P
14
(別解) C(2,-1,3)を通りの作る平面 αを考える.
x+y+clが最小となるのは,x+士が平面α
つまり,g. 6 それぞれと垂直になるとき,すなわち,
(xa+yb+c=0 かつ6(xa+yb+c)=0
のときである.
a=√√3, 16]=√6, a 6-2, 6-c=3, ca=4
より
a(xa+yb+c)=xlal + ya・b+ca=3x+2y+4=0
→
(xa+yb+c)=xa・6+y|6|2+6・c=2x+6y +3= 0
これを解くと, x=-17, y=-11
9
7'
・①
14
y+
14
=0
p=xa+yb+cと
すると,P(p)は平
面α上の点である。
a
ZA
a
xa+yb+c
0
2
9
1
x=
7' y=
14
x+y+c=(x-y+2, x+y - 1, x+2y+3)だから のとき,
9→
'11
1/11
7a14
①を代入して,
33 11
x+y+c|は最小
-
14 7
になる.
0= d-n
9
1
したがって,
-a
14
11√14 D
14
11/14
よって, x=
9. y=-1/4 のとき,最小値
14

Answer 1

ととろ

順番にしっかり読んで理解して下さい

(1) aとbのベクトルは、とりあえず始点が原点Oだと考えます
(2) xa+ybは、aをx倍に伸ばし、bをy倍に伸ばした2つのベクトルの和、つまりxaとyaが作る平行四辺形の対角線を表し、その始点はやはり原点Oです
(3) (2)でx,yを適当に変化させれば、xa+ybの終点は、aとbが作る平行四辺形を含む平面全体のどこかになります、つまりxa+ybという式はその平面全体を表す式になります
(4) xa+ybにcを足すと、原点Oを含む平面をベクトルcの方向に│c│だけ移動させた平面になります
(5) cの位置ベクトルはCの座標で表されているので、(4)で移動させた平面はCを含む平面となります

ととろ

(6) (3)と同じように考えると、(5)の平面αを表す式は xa+yb+c となり、x,yを適当に定めるとxa+yb+cは「平面上のどこかの点P」を表します
(7) 原点と平面上の距離が最短になるのはPの位置ベクトルp=xa+yb+cが平面αと垂直になること
つまり、pがa,bのどちらとも垂直になる、ということ

Answer 2

ものぐさ

点Pは平面α上の点でPは平面を動きますけど
pベクトルはOPベクトルなので原点から平面上を結ぶベクトルになります。
ここが意外と意識されて無いかとおもいます。
つまりpベクトルで一番短いものというのは
平面上の点で原点に一番近い点と原点を結ぶベクトルです。
コレは平面と原点の距離そのもので
そのベクトルと平面は垂直になります。