Question

まかろん

数学的帰納法についてです

①n=1のとき、なぜ模範解答のようなかたちで成り立つことを示すのかが分からないため教えてください

②n=k+1のとき、左辺の変形のしかたがなぜこうなるのかが分からないため教えてください

以上の2点についてお願いします🙇🏻‍♀️

7
数学的帰納法によって,次の等式を証明せよ。
(n+1)(n+2)(n+3) ・･･･････ (2n) =2" ・1･3･5........(n-1)

24 与えられた等式を①とする。
[1] n=1のとき
(左辺) =1+1=2, (右辺 =2112
よって, ① は成り立つ。
[2]n=kのとき ①が成り立つ, すなわち
(k+1)(k+2)(k+3).. ...(2k) -2
1g.
=2.1.3.5........(2k-1)
と仮定する。
②
AS
n=k+1のとき, ①の左辺について考える
と,②から
S
(k+2)(k+3)(k+4) · ...... .{2(k+1)}
=(k+2)(k+3)(k+4)・・
成り立つ。.....2k(2k+1)2(k+1)
272
=
=(k+1)(k+2)(k+3)････････2k×22k+1)
= 2.1・3・5........ (2k-1)×2(2k+1)
=2k+1.1.3.5........(2k-1)・{2(k+1)- 1}
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2]から すべての自然数nについて①は成
立つ
ス

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

和

数Ⅱの等式の証明で学んだ書き方です
まだ成立していない「左辺=右辺」は
いきなり書けないためです

n=kのときの仮定を利用するための変形です
仮定は必ず使います

まかろん

ありがとうございます！

①の質問について言葉が足りなかったのですが左辺と右辺がそれぞれなぜあの式で示せるのかが分からないため教えてほしいです

言葉が足りずすみません🙇🏻‍♀️

和

n=1を代入するだけです

左辺は「nに1を加えた数」から
「nの2倍」までを掛けなさい、
ということなので、1+1から2×1まで、
つまり2だけです

右辺は「2のn乗」と
「1〜2n-1までの奇数の積」
を掛けなさい、ということです
「1〜2n-1までの奇数の積」は1〜1の積、
つまり1です
2¹ × 1 = 2です

まかろん

ありがとうございます

右辺は分かったのですが左辺がまだ分からず、
1+1から2×1までをかけた数が2になるという部分をもう少し詳しく教えていただきたいです🙇🏻‍♀️

和

勘違いしているようです
左辺はn+1から2n(=n+n)までの
n個の積なので、
n=1なら2から2までの1個の積
つまりただの2です
2×2ではありません

まかろん

分かりました！ありがとうございます！