Question

こたろー

青チャート数学Ⅲ77ページの練習45です
重要例題45の⑵と同じ様に
練習45もこのようにやったら間違いですか？

(1) すべての自然数nに対して、1+1が成り立つことを証明せよ。
1 1
k=1
1
(2) 無限級数1+
n
+ +....+ +...... は発散することを証明せよ。
2 3
・基本 34, 重要 44
指針 (1) 数学的帰納法によって証明する。
(2) 数列{1} は0に収束するから、p.63 基本例題 34のように,p.61 基本事項 ②
を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。
n2" とすると
k=1 k k=1
1/11/
4
ここで,m→∞のときn→∞となる。
(1)
k
≥1/12+1
① とする。
無限級数
阻
解答
[1] n=1のとき
k=1k
1/2=1+1/2=1/1/3+1
よって, ① は成り立つ。
+1
[2]n=m(m は自然数)のとき,①が成り立つと仮定すると100+
このとき
2
11+1
k=1 k
(+1)+2+1
2m+1
k=2m+1
k
1
1
+
++
2m+2
2m+1
>
m2m2
1
1
+1+
+
++
2m+1 2m+2.
2m+2m_
1
m+1
+1+
.2m=
+1
2m+1
2
よって, n=m+1のときにも ① は成り立つ。
1
12m+1=2m2=2"+2"
1
1
2m+1
2+2+2 (2+)
2m+k
(k=1, 2,., 2-1)
[1] [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。
(2)S=2とおく。 n≧2" とすると, (1) から
k=1 k
m
m
Sn≥
+1
ここで,m→∞のときn→∞ で lim
(7/27 +1)=0
..
limSn=∞
m-oo
8012
したがっては発散する。
an≦bnでliman=∞⇒limbn=∞ (p.343②)
72-00
12-00
n=1n
重45の結果を開いて、無限級数学は発散
0
(2)より、
m
を示したい
同様に
n
Th=8とおく。≧とすると、
k=1
12/2計++言を計計+2より
2m
m
Th≥ 8 +1
: lin Th=00
"
題意は示された

Answer 1

和

間違いです

こたろー

そもそも勝手に
√n≧2^mとおいても良いのですか？

こたろー

重要例題45⑵のようにこう勝手に定義するやつ
絶対本番で(初見で)できそうにないです
もうほぼ無理ゲーじゃないですか？？

和

そもそも、最終的にn→∞とするのだから、
nはとても大きい数としてよいわけです
よってn≧2ᵐとなるmが存在します

より小さい和が発散するので、
大きい和も発散します
これを追い出しの原理と呼ぶことがあります
はさみうちと並んで有名な理屈です
名前がついているのは、汎用性が高いからです
うまい方法は吸収する一択です

こういうものを体系的に知っていれば、
その一つとして処理できます
知識というか経験です

(1)のヒントもあからさまなので、
突然でも、ゼロから湧いてきた話でもありません
慣れです

多くの典型問題は、初見でできないのは当たり前です
典型問題は2度目以降に解ければよいです
本番=初見にならないように、
我々はいま学習しているわけです
無理ゲーと思うなら、それで終わりです

こういうものを、整理して頭に入れる、
もしくは頭に入れたものを
定期的に整理することが重要です

こたろー

回答の写真についてなんですけど、
和さんの考え方とこの考え方では何が違うのですか？？

こたろー

画像

こたろー

1/√nが1/2ᵐよりも小さいならそれぞれの総和の大小関係は最初の私の質問の画像の通りのように思いました。

和

すみません、勘違いしました

そもそもTₙが別物じゃないですか
Tₙは1+(1/2)+(1/3)+…+(1/√n)ではなく
1+(1/√2)+(1/√3)+…+(1/√n)です

こたろー

1+(1/√2)+(1/√3)+…+(1/√n)
に直して
追い出しの原理というやつで
最初の画像のような答案にしたら
特に問題はないですか

和

「最初の画像のような答案」というのは
√nの式を2ᵐの式に置き換える、あなたの答案ですか？
その方針だと難しそうですが、
具体的に、どうやるのですか？

こたろー

つまり、これで答案としてあっていますか？

和

ああ、√N<Nは使うのですね？
でしたら、それで問題ないかと思います

複数の変形方針が混ざっていて混乱してしまいました
その結果、途中の間違いに加えて
ますます変な返答になってしまってすみません

√NをNに取り替えていくなら、
√nもnに取り替えれば、例題(2)がそのまま使えます
これが自然かつ楽だし、出題意図もそれです
その方針でほぼ完成しそうなところ、
最後の最後にその方針をやめ、
√n≧2ᵐとなる2ᵐで打ち切って(1)を使う、
というのが強烈に不自然で違和感があります

この練習45を、例題(2)の結果を利用して
解くならわかりますが、
練習45を、例題(1)(2)のやり方をマネして解くのは
そのやり方の習得・練習としてもいまいちに感じますし、
あまり実戦的でもないと感じたのが正直なところです