Question

minamino

数学が得意な方よろしくお願いします。数学3日分です。

§ 16 関数の増減と極大 極小 87
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例題6 関数 f(x)=sinx-a√sinx (0<x<)の極値を求めよ.
(島根大)

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

きらうる

f(x)＝sinx-a√(sinx)
f'(x)＝cosx-a/2・(sinx)^(1/2)・cosx
　＝cosx(1-a/2√(sinx))

極値を求めると、
cosx(1-a/2√(sinx))＝0
より、cosx＝0、1-a/2√(sinx)＝0
cox＝0から、x＝π/2
1-a/√(sinx)＝0　から、
→　a/2√(sinx)＝1
→　a/2＝√(sinx)
→　sinx＝a²/4

x=π/2のとき
f(π/2)＝1-a

sinx＝a²/4のとき
f(x)＝a²/4-a・a/2＝-a²/4

1-aと-a²/4の大小を比べます。
(1-a)-(-a²/4)
＝a²/4-a+1
＝1/4(a-2)²
より、
a＝2のとき、極値は-1
a≠2のとき、極大値は1-a、極小値は-a²/4

GDO

a<0、a=0、0<a<2、a=2、2<a (2≦a)で場合分けが必要ではないか。

きらうる

GDO様　ご指摘ありがとうございます。aの範囲により、さらに細分化されますので、以下のようになります。

①a＜0のとき
f'(x)＝cosx(1-a/2√(sinx))
カッコ内は正になるので、
f'(x)＝0となるxは、x＝π/2　
f(π/2)＝1-a
0<x<π/2のときf'(x)＞0、
π/2<x<πのときf'(x)＜0
から、x＝π/2のとき、極大値1-a　極小値なし

②a＝0のとき
f'(x)＝cosx＝0となるのはx＝π/2
f(π/2)＝1　から、x＝π/2のとき、極大値1　極小値なし

③0<a<2のとき
f'(x)＝cosx(1-a/2√(sinx))＝0
より、cosx＝0、1-a/2√(sinx)＝0
cox＝0から、x＝π/2
1-a/√(sinx)＝0　から、
→　a/2√(sinx)＝1
→　a/2＝√(sinx)
→　sinx＝a²/4

x=π/2のとき
f(π/2)＝1-a

sinx＝a²/4のとき
f(x)＝a²/4-a・a/2＝-a²/4

1-aと-a²/4の大小を比べます。
(1-a)-(-a²/4)
＝a²/4-a+1
＝1/4(a-2)² ＞0より、
極大値1-a、極小値-a²/4

④a＝2のとき
f'(x)＝cosx(1-1/√(sinx))
f'(x)＝0となるのは、x=π/2のとき
f(π/2)＝1-2＝-1　より、極値は-1

⑤a＞2のとき
sinx＝a²/4となるxは存在しないから
x＝π/2のみ
f'(x)＝cosx(1-a/2√(sinx))
のカッコの中は負になるので、
0＜x＜π/2のとき、f'(x)＜0
π/2＜x＜πのとき、f'(x)＞0　から
x＝π/2のとき、極小値1-a　極大値なし

minamino

次のような考え方はどうでしょうか？何卒よろしくお願いします。

きらうる

すっきりして良いと思いますが、不備があるかどうかはわかりません。すみません。
解答解説はどのようになっているのでしょうか。
もしありましたら、掲載いただけますでしょうか。

minamino

参考書解説

minamino

何か参考になりましたか？ご返信お待ちしております。

きらうる

返信遅れて申し訳ないです。
a≦0で極小値がないこと、a≧2で極大値がないことは言った方がいいかとおもいます。
あとは不備はないかと。

minamino

😊どうもありがとう

minamino

お互いまだまだ数学はできませんが、切磋琢磨してがんばりましょうね