Question

さくら

(2)について質問です。下線を引いているようになぜm+r+1/n≦1とm+r+1/n≧1で場合分けをするのですか？またその後に線を引いている(n-r)k+r(k+1)はどのようにして計算したら出てくるのかも分かりません💦どなたか教えてほしいです

第9章 整数・数学と人間の活動
40
よって、等式①は成り立つ。
(1)〜(曲)より、すべての実数xに対して, 等式①は成り
立つ。
[x]≦x<[x]+1 より
[x] <x<[x]+1
n
n
[x] は整数であるから,[nx] は, nk, nk+1,nk+2,
.........nktn-1 (kは整数)のいずれかで表される.
[nx]=nk+r(r=0, 1, 2,…, n-1)
kt1≦x<k+r+1
とすると,①より
......③
n
n
ここで,m=0,1,2,
…………, n-1 として ③の各辺
に皿を加えると,
n
m+r
m
k+
≦x+
m+r+1
<k+
n
n
n
m+r+1
22
m+r
k≦k+
n
m
n
-≦1,すなわち,0≦m≦n-r-1 のとき,
-≤ x + <h+
m+r+1
≦k+1
n
より[x+m-k
=k
n
m+r,すなわち, n-r≧m≦n-1のとき,
n
m
k+1≦k+m+rsxt. <k+
n
m+r+1
<k+2
n
n
より,[x+m]=k+1
n
したがって,
[x]+[x+/-]+[x+2]+...
+
[x+
n-r
n
] + [x
x+
n-r
n
+x+
n.
n
=(n-r)k+r(k+1)=nk+r
また②より
よって、等式
[nx]=nktr
[x]+[x+2]+[x+2]+....+[x+タリー[28]
は成り立つ.
注 (1)において, m = 0, 1, 2 として
ktmtr
r≤x+.
m
m+r+1
<h+
のときの [x+7]
3
3
3
3
の他に着目すると,
m+r+11 のとき [+]
3
mtr
=
21のとき, [x+k+1
m =k
r=0 のときは,これを満
すmの値はない。
kとなるのは, [x],
n-r
k+1となるのは、
n
の(n-r) 個
[ x + 1 = 1 ] 0
n-
の個

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第9章 整数 数学と人間の活動
題
7
実数xに対して、その整数部分を[x]で表す. すなわち [xは不等式 [x]≦x<[x]+1
を満たす整数である。
(1)実数xに対して,等式 [x]+[+/3/3+x+2433-13×1 せ、
(2)正の整数n, 実数xに対して 等式
[x]+x++++++カーリー[x]を示せ
(1) 等式 [x]+[x+2/+[x+2/3]-[3x] ①を示す.
[3x]≦3x<[3x]+1 より,
[3x] ≤x< [3x]+1
3
3
......2
[3x] は整数であるから, [3x] は, 3k, 3k+1,3k+2
(k は整数) のいずれかで表される.
したがって,
[3x]=3k+r (r=0, 1, 2) ...... ③
r
とすると,②より、k+m/sx<k+P31
(i) r=0 のとき
k≦x<k+1/3より、 [x]=k
k+
13 ////// より [1/
2
-≤x+· <k+
3
2
-≦x+//<k+1より, [x+ //|=
=k
=k
したがって, [x]+[x+1/3]+[x+4/]=3k
また,③より、
[3x]=3k
よって, 等式① は成り立つ.
(ii) r=1 のとき
k+1/x+1/3より。 [x]=k
2
+1/x+1/+1より[x+/]=k
3
3
k+1≦x+//<k+
4
3
+x+k+1/2 より [x+]=k+1
3
したがって, [x]+[x+1/3]+[x+]=3k+1
また,③より
[3x]=3k+1
よって, 等式① は成り立つ.
(m) r=2のとき
k+ + <k+1
1/x+1 より [x]-k
k+15x+<*+ £9. [x+-+1
|=k+1
4
より、
3
3
4
x+
3
k + 1 = x + 12/31 < k < +
5
>
3
よりx+//+1
[3] を3で割ったときの
りに着目して場合分けを行う。
したがって, x1+x+1/3+x+]-3k+2
また,より、 [3x]=3k+2