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与えられた式は、
49x + 34y = 2
ですね。
この式を満たす整数解(x, y)を求める手順を説明します。
1. ユークリッドの互除法
まず、49と34の最大公約数をユークリッドの互除法で求めます。
49 = 34 × 1 + 15
34 = 15 × 2 + 4
15 = 4 × 3 + 3
4 = 3 × 1 + 1
3 = 1 × 3 + 0
よって、49と34の最大公約数は1です。
2. 特殊解を求める
次に、49x + 34y = 1 の特殊解(x₀, y₀)を求めます。
ユークリッドの互除法の計算を逆にたどります。
1 = 4 - 3 × 1
= 4 - (15 - 4 × 3) × 1 = 4 × 4 - 15 × 1
= (34 - 15 × 2) × 4 - 15 × 1 = 34 × 4 - 15 × 9
= 34 × 4 - (49 - 34 × 1) × 9 = 34 × 13 - 49 × 9
よって、49 × (-9) + 34 × 13 = 1 となります。
したがって、特殊解は(x₀, y₀) = (-9, 13)となります。
3. 一般解を求める
49x + 34y = 2 の一般解(x, y)は、
x = -9 × 2 + 34k = -18 + 34k
y = 13 × 2 - 49k = 26 - 49k
(kは整数)
となります。
したがって、答えは
x = -18 + 34k
y = 26 - 49k
(kは整数)
ポイント
ユークリッドの互除法を使って最大公約数を求める
特殊解を求める
一般解を求める
これらの手順で、一次不定方程式の解を求めることができます。
