Question

らむね

xはtと無関係であるとはどういう意味ですか？この時にどう解けばいいのか全然分かりません。
回答よろしくお願いします🙇‍♀️

487 次の等式を満たす関数f(x)を求めよ。
*(1) f(x)=x+S³ƒ (t)dt
S
3
(2) f(x)= {2x− f(t)}dt
(3)_ƒ(x)=x²-Sxf (t) dt +2S" fƒ(t)dt (4) f(x)=1+sf (x − t) F (t) dt
-

487
■指針■■
xtに無関係であるとき, 定積分の性質によ
b
り Sxf (trdt=xff(n) dtと変形できる。
16U
(1) Sof(t)dt=a とおくとf(x)=x+a
よって
9
Sof(t)at=S(t+a)dt= [12] 123+30
9
9
110-1+10)
ゆえに、12+3a=aから
a=
4
9
したがって f(x)=x1/1
4
=

146- -4STEP数学ⅡI
(2)xは無関係であるから
f(x)=2x√dt-f(t)dt
=2x[1]-S's(1)dt=ax-ff(t) dt
Sndt とおくと
よって
f(x)=4x-a
S'sendr=$(4t-adt=[2-a1]-16-2a
a
88
ゆえに
--b+1=a
2
すなわち
a +26=2... ①
また
Stf (t) dt = Slat² +(1-b)t\dt
1-6
13+
2
a b 1
ゆえに
+ =b
2
16
すなわち
2a-9b=-3
②
ゆえに 16-2a=aから
a=-
3
12
①,② を解いて
7
a=
b=
16
13'
13
12
したがって
13 13
61
したがってf(x)=4x-3
(3)xtに無関係であるから
f(x)=x2-x
-xfs(t)dt+2ff(t)dt
Sof(t)dt=a, Sof(t)dt=b とおくと
よって
f(x)=x2-ax+26
S'sindt=S(e-at+2)at
f(x)= x+
488f(a)=S,(2ax^2-a2x)dx
a2
2
「これを変形すると(a)=(3+
2
3
[+2012a+4b
8
よって,f(a)は4=1/23 で最大値 2/23 をとる。
=
++
8
489 f(x) =ax2+bx+c (a≠0) とおく。
ゆえに
-2a+4b=a
3
f(0) = 0 から
c=0
.......0
すなわち
9a-126=8 ...... ①
f(1) =1から
a+b+c=1
②
また
①,② から
b=1-a,c=0
a
3
Sf(t)dt=[²+261 +26
1
a
よって+ f(x)=ax2+(1-a)x
...... ③
1 a
ゆえに
3 2
すなわち
+26=6
3a-6b=2 ......
②
4
1
①,② を解いて! a=
b=
3
したがってf(x)=x123+43
(4)xは無関係であるから
f(x)=1+xfs (1) at-Sotf(1) dt
Softd=a, Soff(t)dt=b とおくと
f(x)=ax+1-b
よってSS(1)dt=Sat+1-bidt
-b+1
J
このとき Sof(x)dx= flax2+(10)
+
32
2
=Slax +2a(1_a)x+(1-atla
-x5+.
a(1-a)x+
(1-a)2
2
3
a2
+
a(1-a) (1-a
(1-a)²
+
5
2
3
2
a
1 1
30
これは a=-
5
=
+
のとき最小となる。
(≠0 を満たす)
a
6
30
このとき,③から
5
=
490 第1式の両辺をxで微分すると
f(x)+g(x)=6x+2
また, 第2式から
.......
f'(x) = g(x)=4x²

積分

Answer 1

BaSO4

2axをxで積分するとax^2+Cになりますね。
これは
∫2axdx=2a∫xdx=2ax^2+C
と言うようにxに関係のない2aは外に出してから積分することができます。
同じようにtで積分する時、xはtとは関係ないので外に出して積分することができます。

BaSO4

∫2axdx=2a∫xdx=ax^2+C
間違えました。

らむね

関係なかったら外出せるんですね、！ありがとうございます🙇‍♀️