Question

まつり

数2 クリアーの63番を教えてください🙏
解答も載せておきます。
0<a<1までは分かったのですが、そこからが分からないです。
明日テストなので、なるべく早めにお願いします。

a+b'V2
*630<a<b,a+b=2のとき, 次の数を小さい順に並べよ。
1, a, b, ab,
a2+62
2
例題

7
62(√ab)- 2ab
ab(a-b)2
->0
a+b
①~④からa<ab<1<@2+62
(a+b)2
2
<b
ゆえに2ab
(a+b) <(Vab)
すなわち
0000)
a, ab, 1,
a2+62
2
b
2ab
a+b
2ab
>0,√ab>0であるから
<vab
a+b
a b > 0 から, 相加平均と相乗平均の大小関係
ato
a+b>0,
2
64a0b>0, a+b=1から
0<a<1
①
b=1-a から Vax+by=√ax+(1-a)y
a√x+b√y=a√x+(-a)√y
(√ax+by)-(a√x+by)2
={√ax+(1-a)y}_{a√x+(1-a)√y2 (
={ax+(1-a)y}_{a2x+2a(1-a)√xy + (1-a)?y}
a+b
により
√ab<
2
また
(
2
02+62
2
a+b
2
(a-b)2
4
・>0
よって
ゆえに
a+6\2
a2+62
2
2
a2+b2
>0であるから
2
a+b
a2+62 7
2
2
よって
2ab
a+b
<vab<
a+b
a2+62
2
ra
2ab
a+b
したがって, 小さい方から順に並べると
Vab,
2
a+b
a
22+62
200'
2
参考
a=2, b=1 とすると
a
>
=(a-ax-2a1-a)√xy+(a-a2y
=α(1-a)x-2a(1-a)√xy+a(1-a)y
(
=a(1-a)(x-2√xy+y) = a(1-a)(√x-√y)2
① から, α(1-α) > 0 であるから
a(1-a)(√x-√y)20+98
ゆえに(ax+by) (√ax+by)2 7440
a√x+b√y>0,√ax + by >0であるから
a√x+b√y≦√ax+by
小
参考 等号が成り立つのは,√x = √y,すなわち
a+b 3
2
2ab
√ab=√√2,
4
a+b 3'
102+62
15
=
2
2
2ab
よって,
a+b
a2+62
a+b
で
2
2
65
<√ab<
あると予想される。
63a+b=2 から
0<a<bから
これを解いて
2+62
2
b=2-a
0<a<2-a
0<a<1
=2-a-
a²+(2-a)²
2
=a-a²=a(1-a) > 0
x+
x=yのときである。
■指針■■|
差をとったときの正負を調べる。 正と負の両方
の値をとりうる場合に答が x になる。
(1) 2(ac+62)-b(4a+c) =2ac+262-4ab-bc
=2a(c-2b)-b(c-2b)
最小
=(2a-b)(c-26)
abc>0より,2a-60, c-26 < 0 である
から
a2+62
よって
・<b
......
①
2
a2+62
(C2-1=-
a²+(2-a)²
-1
よって10か
1<
...... 2
2
=a2-2a+1=(a-1) > 0
(2a-b)(c-26) < 0
すなわち
よって
<
2(ac+62)<b(4a+c)
(2) (a2+2bc)-(2ab+ca)=a+2bc-2ab-ca
a > b≧c>0より
=2(c-a)b-a(c-a)
=(c-a)2b-a)
c-a<0
1-ab=1-a(2-4)=a-2a+1=(a-1)>0
よって
ab<1
よって a<ab
ab-a=a(2-a)-a=a-a²=a(1-a) > 0
・④
ここでa=3,b=2のとき 2b-a=1>0
=3,b=1のとき 2b-a=-1<0
ゆえに, 26-αは正負両方の値をとるから,
(a+2bc)(2ab+ca) は正負両方の値をとる。
よって ×

不等式 不等式とその解 不等式の性質

Answer 1

和

62がわかれば63もわかります
62の参考の要領で、63も
a < ab < 1 < (a²+b²)/2 < b
であろうと目星をつけて、隣同士、大-小を計算して、
その結果が0より大きくなる、
ということを一つずつ示していけば終わりです