Question

いちごらて🍼

(2)の場合分けの仕方がわからないです。なんでtから1の時と0からtのときに分けられるのですか？

Example 36
(1) tを定数とする。 xの不等式(1+t)x+t>0 を解け。
(2) 0≦ts1 のとき,f(t)=Sxー(1+1)x+tldx を求めよ。
解答 (1) x2(1+t)x +t0 から (xt)(x-1)>0
よって、この不等式の解は
[類 08 早稲田大]
Key tと1の大小関
係によって場合分けす
る。
t<1 のとき x<t, 1 <x
t=1 のとき x <1, 1 <x
t>1 のとき x<1, t<x 答
2 のとき (1) の結果から
[Key 絶対値記号の中
(x²-(1+t)x+t (0≦x≦t)
の関数の正負によって
|x2-(1+t)x+tl=
(x-t)(x-1) (t≦x≦1)
積分区間を分ける。
ゆえに f(t)=Solx2(1+t)x+t/dx
=S(ピー(1+1)x+1)dx-f(x-1)(x-1)dx
x3
1
= [ ³ ³ ³ — — — — (1 + 1 ) x² + tx] = { — — — — (1-0)³}
+3
3
= 1/32 - - 1 / (1+1) 1² + 1² + 1 = ( 1 − t)³
==
2
=-1/2 (21³-61²+31-1)
6

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

和

一見わかりにくい解答だと思います

絶対値の中の式は因数分解できます
| (x-t)(x-1) |の中身、
(x-t)(x-1)の正負によって場合分けします
その様子を一部やっているのが(1)です

(2)では、指示通り0≦t≦1の場合のみ考えます
この範囲では、(1)でやったように
(x-t)(x-1)≦0 ⇔ t≦x≦1
(x-t)(x-1)≧0 ⇔ x≦t, 1≦x
なので、xが
t≦x≦1のとき、| (x-t)(x-1) | = (x-t)(x-1) ←そのまま外す
x≦t, 1≦xのとき、| (x-t)(x-1) | = -(x-t)(x-1) ←-付けて外す
です

ただし、ここでは積分区間が0≦x≦1なので、
xはこの範囲で記述します
xがこの範囲から外れている部分は除いて書きます
t≦x≦1のとき、| (x-t)(x-1) | = (x-t)(x-1)
0≦x≦tのとき、| (x-t)(x-1) | = -(x-t)(x-1)

いちごらて🍼

わかりやすく解説していただきありがとうございます！いつもこのような問題に苦戦してしまうので、理解することができてよかったです。
本当にありがとうございます‼️🙇‍♀️