26 剰余の定理 (III)
(I) Mes
-2a-2b+26=6
-2a-b+26=14
(1) 整式 P(z) をπ-1,-2,エー3でわったときの余りが、そ
れぞれ 6,1426 であるとき,P(z) を (x-1)(x-2)(x-3) で
わったときの余りを求めよ.
(2) 整式P(z) を (x-1)でわると、2x-1余り,r-2 でわると
5余るとき,P(x) を (x-1)(x-2)でわった余りを求めよ.
講
(1) 25 で考えたように,余りはax2+bx+c とおけます. あとは,
a,b,c に関する連立方程式を作れば終わりです.
しかし, 3文字の連立方程式は解くのがそれなりにたいへんです.
こで,25
の考え方を利用すると負担が軽くなります。
余りをax2+bx+c とおいても P (1) P(2) しかないので, 未知数3つ
(エノ
式2つの形になり, 答はでてきません.
.
a+b-10=0
l2a+b-12=0
∴.a=2,b=8
よって, R(x)=(2x+8)(x-3)+26
=2x2+2x+2
注 (別解)のポイントの部分は,P(3) R (3) となることからもわ
かります.
(2) P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りをR (z) (2次以下の整式)と
おくと,P(x)=(x-1)(x-2)Q(x) +R(x) と表せる.
余
ところが,P(x) は (x-1)2 でわると2x-1余るので,R(z) も
(x-1)2でわると2x-1余る.
よって, R(x)=a(x-1)2+2x-1 とおける.
:.P(x)=(x-1)(x-2)Q(z)+α(x-1)2+2x-1
P(2) = 5 だから, α+3=5
a=2
よって, 求める余りは, 2(x-1)'+2x-1
すなわち, 2x²-2x+1
解 答
(1) 求める余りはax+bx+c とおけるので,
3次式でわった余り
P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+ax2+bx+c は2次以下
と表せる.
P(1)=6, P(2)=14,P(3)=26だから,
ポイント
f(x)をg(x)h(x) でわったときの余りをR(z) とす
ると
[a+b+c=6
4a+26+c=14
......①
②
9a+3b+c=26 ...... ③
① ② ③ より, a=2, 6=2,c=2
よって, 求める余りは2x2+2x+2
注
連立方程式を作る
25 の考え方を利用すると,次のような解答ができます。
(別解) P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(z)+R(z)
P(x)はx-3でわると26余るので
R(x) もx-3でわると26余る.
(R(x)は2次以下の整式)
ポイント
よって, R(x)=(ax+b)(x-3) +26 とおける.ax+bx-3で
P(1)=6,P(2)=14 より,R(1)=6,R(2)=14
わったときの商
演習問題 26
f(x)をg(x) でわった余りと
R(x)をg(x) でわった余りは等しい
(h(x) についても同様のことがいえる)
(1) 整式P(x) をx+1, x-1, x+2でわると, それぞれ3, 7,4余
このとき,整式P(x) を (x+1)(x-1)(x+2) でわったときの
りを求めよ.
(2) 整式P(x) を (x+1)2でわった余りが2x+1, r-1でわった
ポイント
次式でわったときの余りは (n-1) 次以下の整式
参考
mmm
f(x)=(2x+1)(2x-1)Q(x)+R(x) として, 部分だけを見る
と2x+1でわりきれています.ところが,f(x)は2x+1でわると
4余っているので, R(x) を2x+1でわると4余るはずです. だか
ら,R(x)=a(2x+1) +4 とおけます. こうすると,使う文字が1つだけで
済みます。 (a は, R(x) を2x+1でわった商を表している)
この考え方は、たいへん有効な考え方なので、次の26 で使ってみます。
ありがとうございます！やっとできました！！