Question

わ。

共通な解を求めるのは何故でしょうか？

40点)
αを正の定数とし, 0≦0<2πにおいて, 0 の方程式
asin20-2acoso-sin0+a=0
8
sin A = α =
を考える.
(1) a=1のとき, (*) を解け.
(2) (*) がちょうど3つの解をもつようなαの値を求めよ。

とするとき、α+β の値を求めよ
1
1
0<
[ < すなわち
a>
のとき2個,
2a
【配点】
(1) 12点
1-1
すなわち
a=
=1/12/2
のとき, 1個,
2a
(2) 16点
(3) 12点.
1 2 あ
>1
2a
すなわち
<a< 21/2 のとき,0個
であるから, まとめると次のようになる。
<設問別学力要素
1
a
(0)
1
2
大間
分野 内容
13 三角関数
配点 小間
配点
知識
技能
思考力
判断力
表現力
① の解の個数
2 2
2
1
0
40点(1)
12
0
(2)
16
(3)
12
O
O
② の解の個数
0 1
2
2
2
O
... 3
出題のねらい
三角関数を含む方程式を解くことができるか,
また, 方程式の解の個数をαの値で分類して考
えることができるか,さらに, 三角関数の値から
角の大小関係を調べることができるかを確認する
問題である.
ここで、①と②が共通な解をもつとすると,
より,
sin'0+cos'0=1
a²+(24) -1.
4a-4a²+1=0.
(2a2-1)2=0.
→解答
半
>0より,
(1)a=1のとき, (*)より,
sin 202cose-sin0+1=0.
a =
2sincose-2coso-sin0+1=0.
2(sin0-1)cose- (sin0-1)=0.
(2) (*)より,
(sin-1)(2coso-1)=0.
sin0=1 または cose= =/1/1
より
π
5
07. Bar
=
2asincoso-2acose-sin0+α=0.
2a(sine-a)cose- (sine-a) = 0.
(sin-a) (2acose-1)=0.
α 0 であることに注意すると,
1
sina. ① または cose:
2.
2a
よって, ①と②が共通な解をもつのは,
a=-
1 のときに限られ,このとき, (*)は①,
√2
②
sin0=
1
√2
または cos=
+2
となるから,(*) の解は,
の3個となる.
T 3
0=
0-1.x. 1x
7
このことと③より,(*) がちょうど3つの解
をもつようなαの値は,
a=
13/11/21
(2)より がちょうど4つの解をもつのは,
0≦02において, 1 の解の個数は,
0<a<1のとき,2個,
3a=1
のとき, 1個,
a>1 このとき, 0個
であり、②の解の個数は,
20
<a<1
...4
Haonnie Onl
のときである.
このとき,①は2つの解をもち, 小さい方
02 とすると,
0<0₁< cose₁ =√1-a²
cos="d
が成り立つ。