Question

ゆり

数Iです！

x=√5ー2

のとき

　　　1
x⁵- ー
　　　x⁵

の答えがなんになるか教えて欲しいです。

Answer 1

高橋

x²=9-4√5
x⁴=(x²)²=161-72√5
x⁵=x⁴･x=305√5-682
1/x=(√5+2)/(5-4)=√5+2
1/x²=9+4√5
1/x⁴=161+72√5
1/x⁵=305√5+682
x⁵-1/x⁵=-1364

別解
二項定理より
(x-1/x)⁵=x⁵-5x³+10x-10/x+5/x³-1/x⁵=x⁵-1/x⁵-5(x³-1/x³)+10(x-1/x)・・・①
(x-1/x)³=x³-3x+3/x-1/x³=x³-1/x³-3(x-1/x)・・・②
①より
x⁵-1/x⁵=(x-1/x)⁵+5(x³-1/x³)-10(x-1/x)・・・③
②より
x³-1/x³=(x-1/x)³+3(x-1/x)・・・④
③④より
x⁵-1/x⁵=(x-1/x)⁵+5(x-1/x)³+15(x-1/x)-10(x-1/x)=(x-1/x)⁵+5(x-1/x)³+5(x-1/x)
y=x-1/xとおくと、x⁵-1/x⁵=y⁵+5y³+5y・・・⑤
1/x=√5+2
x-1/x=-4・・・⑥
⑤⑥より
x⁵-1/x⁵=-1024-320-20=-1364