Question

jpgamw

解の1行目に丸を付けたところは、なぜ0より大きいと分かるのですか？
また、-∞のときはy=ax+bのような漸近線にならないとなぜ分かりますか？
よろしくお願いします。

例題27 グラフの概形と漸近線の方程式
関数 y=x+1+√x2+1 の極値、凹凸などを調べ、そのグラフの概形をかけ。
また漸近線の方程式を求めよ。
考え方 関数 y=f(x) のグラフの漸近線
(i) y 軸に平行な漸近線
_lim_f(x), lim f(x) の少なくとも一方が∞, または のとき, 直線
x-a-0
x→α+0
x=α は漸近線である。
(茸) y軸に平行でない漸近線
lim{f(x)-(ax+b)}=0 または lim {f(x)-(ax+b)}=0 となるα, bがあ
X18
るとき, 直線 y=ax + b は漸近線であり, α, 6は,次の式で求められる。
f(x)
lim
=a,
→土∞ XC
y'=1+-
x
√x2+1
/x2+1-x.
lim {f(x)-ax}=b (複号同順)
X→ +∞
x2+1+x
Vx2+1
>0
y"
x
✓x2+1
x2+1
x2+1-x2
1
>0
(x²+1)√x²+1 (x2+1)x2+1
したがって, yはつねに増加し, グラフは下に凸である。
x→∞ のとき, 漸近線の方程式を y=ax+b とすると,
a=lim
x→∞
x+1+√x2+1 lim (1+1+1+)-2
X
xx
x
V
=2
b=lim(y-2x)=lim(x+1+√x2+1-2x)=lim (1+√x2+1-x)
x-00
X→00
x→∞
= lim (1+x+1)=lim(1+2+1+x)=1
x→∞
また,x→∞ のとき, t=-x とすると,
lim y= lim (x+1+√x2+1)
==
= lim(-t+1+√2+1)
00 +7
-2t
t+1-√2+1
YA
=lim
2
2
=lim
=1
1- + 1+
V
12
1
よって, 漸近線の方程式は、
y=2x+1,y=1
10
グラフは右の図のようになる。
y=2x+1
y=1

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

和

y'の分母は単なる「√」なので0以上、
特に√の中身が正なので、分母も正といえます
そもそも分母なので0にはならず、正です

y'の分子は、まず√(x²+1) > x……① です
左辺は右辺のxを2乗して「1を加えて」√なので、
左辺は右辺より大きくなります
よって分子も正です

y'が正なので、yは増加関数です
また、yも①の理由から正です
y座標が常に正で、
グラフ上で右に行くほど（xが増すほど）yは増加するので、
左に行くほど減少です
しかしy座標は正のままなのですから、
左に行くほど「x軸に平行な直線」に
近づくことがわかります

jpgamw

回答ありがとうございます。
返信遅くなりすみません🙇
y'の分子たしかにx=√x^2で考えると√x^2+1の方が大きくなるから0より大きくなりますね！

あと、たしかにずっとyは0より大きいからx軸に平行な直線が漸近線になりますね。

どちらも理解しました☀️
分かりやすかったです！
ありがとうございました。