Question

し　【難関大学志望】

【3】のn2乗＋1って何処からでてきたのですか？
教えてください。またなぜ【n＋2】【n－2】＋5となるのですか？

問題6-5
71
を奇数とする。 次の問に答えよ。
(1) n²-1は8の倍数であることを証明せよ。
C
(2
3の倍数であることを証明せよ。
(3)
の倍数であることを証明せよ。
は120
(千葉大)

A=n(n-1)
=
n(n-1)(n+1)
=(n+1)n(n-1)(n+1)
なりの経っての
2
・② 因数分解した
ここで,(n+1)n(n-1)は3連続整数の積であるから,6の倍数であ
6の倍数であれば3の倍数でもある)。
したがって, Aは3の倍数である。
↑Aの因数(n+1)n(n-1)が3の倍数であれば,Aも3の倍数
(3)(1)より,Aは8の倍数でもある。Aの因数が8の倍数なので
よって、Aが5の倍数であることを示せばよい。
+1=(n+2)(n-2)+5
方針参照
であるから,これを②に代入すると,
Aも8の倍数
なぜかて
A=(n+1)n(n-1){(n+2)(n-2) + 5}
=(n+2)(n+1)n(n-1)(n2)+5(n+1)n(n-1)
5連続整数の積なので120(51)/
の倍数(ということは,の倍数)
5 × ( 整数)
なので5の倍数
よって, Aは2つの5の倍数の和で表されたので,Aは5の倍数。
5+56=5g+ b)なので、2つの5の倍数の和は5の倍数
したがって, A は 3, 8, 5 の最小公倍数12の倍数である。

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

mo1

参考・概略です

● n⁵－n＝n(n²＋1)(n²－1) が120の倍数であることを示すのに

　(1)で、(n²－1) が 8の倍数を示し
(2)で、n⁵－n が 3の倍数を占め際てあるので

　　120＝8×3×5　から、

n⁵－n が 5の倍数を示せばよいので
　　因数である n か (n²＋1) か (n²－1) が 5の倍数であることを示します

●ここで、適当なnの値(条件から奇数)を代入してみると【7としてみます】
　　n は、7 となり、5の倍数ではありません
　　n²＋1 は、50 となり、5の倍数です
　　n²－1 は、48 となり、5の倍数ではありません

●これで、n²＋1 が5の倍数を示す方針がきまります

―――――――――――――――――――――――――――――――――
方法として、(2)で用いた
　連続する3数の積は3の倍数と同様に
　連続する5数の積は5の倍数を考えます

既に、n(n²－1)＝(ｎ－1)n(n＋1)ができています
これを連続する5数とするためには、この両側の(n－2)，(n＋2)を考えます
このため、n²＋1＝(n－2)(n＋2)－5　と変形します

これを、(－5がついていますが)②へ代入し
　(n－1)n(n＋1){(n－2)(n＋2)－5}
　(n－1)n(n＋1)(n－2)(n＋2)－5(n－1)n(n＋1)
　(n－2)(n－1)n(n＋1)(n－2)－5(n－1)n(n＋1)
これで、連続する5数の積と5の倍数の和になります
――――――――――――――――――――――――――――――――
という流れとなっています

し　【難関大学志望】

n2乗＋1を変形するのがなかなか思いつきませんね。教えてくれてありがとうございます！