Question

みみ

私は答えが1だと考えたのですが、回答は赤ペンで書いた積分での解き方が正しいそうです。なぜ、前者の考え方ではいけないのか教えて頂きたいです。

3
次の極限を求めよ。
lim(+1+n+2 ++3+++) <= ~~
1
1+2
So T
1
1
n+n

Answer 1

こたつみかん

主さんの書いている
「(lim(n→∞)(1/n+1 ＋…＋1/n+n))＜(1/n)×n」
という大小関係は正しいです。
大小関係は間違っていませんが、
「＜(1/n)×n」というだけで1に収束します、
とは言えません。

一般に無限が絡んだ極限は、大小関係を利用して
はさみうちの原理が使われます。(写真1枚目参照)
右側や左側だけというのは極限を挟めていません。

「＜(1/n)×n」とは「1未満」という意味ですよね。
1未満って、一体どれくらいでしょうか。
0.01かもしれないし、0.99かもしれません。
「1未満」だけだと、1未満のどこの値へ
収束するのか分からないですよね。
(ちなみに本題の答えはlog2(=0.3010)なので、
0.99どころか1の半分の0.5よりも小さいです。)
だから、その収束値のズレを無くすために
挟むんです。はさみうちの原理です。

簡潔に答えるなら、主さんのは
「はさみうちをしていないので、
1以外に収束する可能性があるためNG」
です。

ついでに、本題で使う区分求積法の公式に
ついても証明まとめときました。よければ。