2枚目の画像がご自身で解いたものだと考えて話を進めます。
まず、平方完成した式が誤っています。
y=-x^2+4ax-a
y=-(x^2-4ax+4a^2-4a^2)-a
y=-(x-2a)^2+4a^2-a
正しくは、このようになります。
-----余談-----
横着すると計算ミスをするのが人です。
遠回りのように感じるかもしれませんが、近道しても式が間違っていては、その後の答えを考える前提から崩れてしまいます。
数学の問題は大抵誘導があり、前の問題の答えを利用することが多いです。そのため、計算ミスは可能な限りないようにしないといけません。
-----余談-----
あとはaの場合分けですが、定義域（0≦x≦2）の内側の場合1つ、外側の場合2つを考えればよいです。
画像1枚目には、定義域の外の場合1つ目、内側の場合1つ、外の場合2つ目という順で答えが書かれています。
平方完成した式を見れば、頂点のx座標は2aだと分かります。
この問題の場合分けは、これを定義域に当てはめて考えていくだけです。
グラフの軸x=2aが0≦x≦2の内外どちらを通るのかは、aの値次第ということになります。そのため場合分けが必要です。
画像1枚目の順番とは違いますが、範囲内にある場合から考えていきます。
(ⅰ)0≦x≦2より、0≦2a≦2、すなわち0≦a≦1
（グラフを書いて、）x=2aで最大値4a^2-a
（※頂点の「y軸ひょう」ではなく「y座標」です。）
(ⅱ)0≦x≦2より、2a<0すなわちa<0（定義域の外なのでイコールを付けてはいけません）
（グラフを書いて、）x=0で最大値-a
(ⅲ) 0≦x≦2より、2<2aすなわち1<a（定義域の外）
（グラフを書いて、）x=2で最大値7a-4
最小値の場合は、ご自身で考えてみてください。
一番の原因は平方完成を間違えていることです。
それと、違ったら申し訳ないのですが、こういった問題を解く際にグラフを書いた上で考えておられますか？もし書いていないのであれば、今後は書くようになさってください。
日頃からきちんと書いているのであれば続けてください、申し訳ありません。
