Question

あ

（3）区分求積法の問題です。
3枚目の写真にもあるように、どうして積分範囲が0からαとなるのですか？

〔I〕 関数f(x)=
COS X
3 + 2sinx
とおく。 次の問いに答えよ。
を求めよ。
F(x) = f* f(t) dt
Wted moromoo ad 8
dallome 0
数学 ■
(0≦x≦2m) に対してOK
a the hippocampns.
lim
schdördde tent of
(100) 8 to rewood A
atgeo
isanduoY wol" a
n→∞n
(1) F(x) を求めよ。 さらに, F(x) の最小値とそのときのxの値を求めよ。
(2) f(x) の最大値を求めよ。 ただし、最大値を与えるxの値は求めなくてよい。
(3) f(x) が最大となるxの値をαとする。 このとき, 極限
n
a
# ₁ (a) r(a)
k=1
f(t)dt (0≦x≦2x)
with "Scents are really special," the
nories

88
(1) sint=u とおくと
② より
GATHA
2
1
Ⅰ 解答
(0≤x≤2π) 1
cost
F(x)=ff(t)dt=* 3+2sint -dt (0≤x≤27) ......
-=cost
sinx
f(x)=
1
3+2u
F(x)=√ -du=-
X
****
2
3+2u
[log(3+2)](log(3+2sinx)-log3)
log(1+
F'(x)
F(x) 0
0
+ sinx)
③より, F(x) の最小値は
du
dt
...
COSX
3+2sinx
①②より F'(x)=f(x)
raret (f(x))=3+2sinx=1+2(1+sinx) ≥1
ゆえに,F'(x)=f(x) の符号は COSX の符号と同じ。
+ へ
(2) ① および商の微分法より
[数学]
sinx
1
2 J
F(32) - 108(1-3)
T
2
0
...
-
.........
増減表より, F(x) が最小値をとるのは,
x=2のときである。(答)
-log3 ...()
T
T
> 0
***
-
V
du ****
37 It
2
0
HOUS
YA
+^
O
HÉT = $36
S
|1|2
0
Ly=F(x)
27 TADAS
JASUNT
ESOS
T
2
NIA
2π
7
f'(x)=
f'(x)=0より
3π
2
グラフより、④の解を
α
2+3sinx=0 (0≤x≤2π) ......4
とする。
この定義は
sina=-
(cosx)(3+2sinx)—(cosx)(3+2sinx)
(3+2sinx)²
3π
(³7 <a<2T), B (π<B<³7)
2
2+3sinx
(3+2sinx)²
x 0
<a<2πより
cosa=₁
f'(x) =
f(x)
=
2
3 (³7 <a<2x)
3
f(a)=-
(3
ƒ(0)= //
3
V 0
(0≤x≤2)-((*))]-
V
=√1-sin²a
0752271-√√1-(-3)²-√5
(31) 34
√√5
cosa >0
PRO (20)
\2
=
π
31
3+2(-3) √5
1:
=
V
2
小最大
> & S. = 2(a)( ^ a)
区分求積法より
B
0
ミュ
32
+
TO
3+1(-200²
3π
2
+ +
0
YA
......
O
T
2
T
2
1
1
<. であるから、増減表より, f(x) の最大値は
3 √5
(3) (*)をみたすαに対して,次式でSnを定める。
a
0
AⒸ 200 1+10
y=3sinx
TH
1
✓
B
KR
2π
B
1
√√5
3
ST
2
a
E
2π x
α
/3
2π
2π x
()

L-lims. -f" f(x) F(x)dx-∫F(x) F(x)dx
n→∞
-112 (F(x)=1/12 (F(4)
=1/12/1/12/10g(1+1/2 sina) (③)
-log(1
…(答)
=1/12 (10g)(*)
8
3
の解は,区間 <x<-
S
3π
F(0)=0 ___
(nies +8)
-
<解説>
≪積分で定義された関数 最大最小・区分求積法>
jg'(x)dx=log|g(x)+C (C:積分定数) を用いる。
●
=paie
(2) 方程式2+3sinx=0 (0≦x≦2π) の解は2つある (2番目の図)。 そ
3π 3π
22
10=xnide+s
<x<2πに各々1個ある。 f(x) の最大値
を与える x = α は, <a<2πをみたす。 このαは条件(笑)
2
tost
2
1805
ats
3
sina=-3 (³<a<2x)
によって, ただ1つに決まる (中間値の定理)。
(3) 極限値の計算には、 区分求積法を用いる。 また、次の公式を用いる
(n=1)。
f(g(x)}"'g'(x)dx= 1
n+1
この公式はu=g(x) とおく置換積分法により示せる。
{g(x)}"+1+C (nは自然数)

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

でど

いつもの区分求積は、lim(x→∞) 1/nΣf(k/n) でやっていると思いますが、その意味は、0〜1の区間の面積をn等分に細かくスライスして、その長方形を足していくという作業であり、n→∞で積分に近似できるというものでした。
そのときは、0〜1の区間をn等分なので、1スライスのxの長さは1/nとなっていました。
今回はα/nが1/nの役割を果たしているので、0〜αの区間をn等分にスライスしたという意味になるはずです
なので、1スライスのxの長さはα/n であります。これは問題文と見比べてもおかしくはないかと思います。。

あ

分かりました！ありがとうございます！