Question

トマト嫌い

早急に質問したいです。よろしくお願い致します。

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Date
曲面z=xyと円柱形(x-3)+(y-2)^²=4および
xy平面の囲む部分の体積は?

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

Take

トマト嫌い様
xy平面上の領域 (x-3)²+(y-2)≦4 をＤとおく。
Ｄにおいて x≧0 , y≧0 であるから
曲面 z=xy のうち、円柱形 (x-3)²+(y-2)=4 で囲まれる部分は z≧0 である。
よって、求める体積Ｖは
Ｖ=∫∫Ｄ xy dxdy　…①
ここでＤ：(x-3)²+(y-2)≦4 を
　x=3+rcosθ , y=2+rsinθ　(0≦r≦2 , 0≦θ≦2π)
で変数変換を行うとヤコビアンＪ=r になるから、①は
Ｖ
=∫(0～2π)｛∫(0～2) (3+rcosθ)(2+rsinθ)r dr｝dθ
=∫(0～2π)｛∫(0～2) (6r+r²(3sinθ+2cosθ)+(1/2)r³sin2θ) dr｝dθ　←2倍角の公式 sin2α=2sinαcosα を利用
=∫(0～2π)［6・(r²/2)+(r³/3)・(3sinθ+2cosθ)+(1/2)・(r⁴/4)・sin2θ］(0～2) dθ
=∫(0～2π)｛12+(8/3)・(3sinθ+2cosθ)+2sin2θ｝dθ
=［12θ+(8/3)・(-3cosθ+2sinθ)-cos2θ］(0～2π)
=24π　■
となります。