Question

tkhsre

各問が完全には理解できません。
(1)はn＝kのとき、なぜ0<ak<3の両辺に1を足して、akではなくak+1の不等式を求めているのですか？
(2)はn≧2の時以降が分かりません。n≧2の時の前まではnはどんな数で証明されているのですか？
(3)は「はさみうちの原理より」とありますが、はさみうちの原理を使ったような事が書いてないので、なにがはさみうちの原理なのか分かりません。

43
数列{an} は 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ...) をみたす
ものとする。このとき、次の(1), (2), (3)を示せ .
(1) n=1,2,3,
に対して,0<an <3
\n-1
(2)n=1,2,3,… に対して, 3-ans (1/2)^^ (3-42)
3-an≦
² (3-a₁)
(3) liman=3
12400
(1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき、ま
ず,帰納法と考えて間違いありません.
(2)これも (1) と同様に帰納法で示すこともできますが,「≦」→
「=」としてみると,等比数列の一般項の公式の形になっています.
(3) 44のポイントの形になっています。臭いプンプンというところでしょう.
|精講
解答
(1) 0<an<3 ･･① を帰納法で示す。有
(i)n=1のとき, 条件より0<a<3 だから, ① は成りたつ.
(ii)n=k(k≧1) のとき,0<a<3 と仮定すると、 1<ak+1 < 4
:: 1<√1+ak <2<2<1+√1+ak <3√2173
12 < ak+1 <3
よって,0<ak+1 <3 が成りたつ。
(i), (ii) より , すべての自然数nについて, ① は成りたつ.
(2) an+1=1+√1+an3-an+1=2-√1+an まず、左辺に3-αn+1
をつくると
右辺にも3-an がでて
くる
ħi= (2¬√1+an)(2+√1+an)
2+√1+an
(1)より
1<√√1+an <2⇒3<2+√1+an<4
3-an>0 だから、
=
3-an
2+√√1+an
WASSA
==/=/< 2+√²+ a₂
(3-an)
^2+√1 + a₂ <=
3-an
2+√1+ an
3-an+1 <= (3-an)

よって, n≧2のとき,
3-an < (3-an-1) < (1) ²(3-ax-x) <--< (1) ¹ (3-as)
3
n-1
n=1のときも考えて, 3-ans (12) (3-a)
3-an≦
(3-α1)
3
明+
(3)(1),(2)より 0<3-a₁s (1) ¹(3-a₁)
3
n-1
ここで, lim
im{(1/2)" ' (3-as)} = 0 だから.
(3-α1)
3
n→∞
<(+)-1(3-0) JA
参考
43 でグラフを利用して数列の極限
を考えました. 今回は、38の復習も
兼ねて, グラフで考えてみます.
2.8
y=f(x)=1+√1+x と y=xのグラフを
かき, a1 を 0<x<3 をみたすようにとれば,
a2,a3, …..と,どんどん3に近づいていく様
子が読み取れるはずです.
2
はさみうちの原理より lim (3-an)=0 .. liman=3
n→∞
a3
|42|
a2
S
3
2
+24
n→∞
y (an+1)
①
a1
6
y=x
a2 3
y=f(x)
(an)
IC

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

冒昧

(1)についてはn=kの時の成立を仮定したら次はn=k+1でも成り立つことを確かめる必要があり、漸化式を利用したいので、そのような式変形をしています。

(2)目標の不等式の形を無理やり作りますが、その際にa_(n-1)が出てくるのでn≧2が必要となります。
n=1は等号成立です。

(3) (3)の回答の1行目の式ではさみうちの原理を使っています。

tkhsre

(1)について、なぜ2<1+√1+ak<3となる時2<ak+1<3と言えるのですか？何か計算したらこうなりますか？
(2)について、無理やり不等式を作る過程の途中の、1枚目の画像の最後の部分が分かりません。分母にあった2＋√1＋anはどこに行ったのですか？
(3)について、3－anの大小を(1)のan<3をいじったら
<0となり、また0<anも加えたら0<3－an<0が出来るから極限は0だからanの極限は3ということですか？しかし、3－anとanは別のものなので、∴で繋がっているのがよく分かりません。

冒昧

(1)については漸化式より1+√(1+ak) =ak+1です。

(2)については、
まず、(2)の解答2行目より、
2-√(1+an)=(3-an)/(2+√1+an))
であり、(1)から、
1/4＜1/(2+√(1+an))＜1/3
です。3-an＞0より、不等号は変わらず、
(3-an)/4＜(3-an)/(2+√1+an))＜(3-an)/3
です。不等式の中辺は(2)の解答の1行目より、3-an+1なので、
(3-an)/4 ＜3-an+1 ＜(3-an)/3
と言った具合に変形しています。分母が消えたのではなく、同じものに置き換えているだけです。

(3)については、
(1)より3-an＞0だから、これと(2)の結果を合わせて、
0＜3-an＜(1/3)^(n-1)*(3-a1)
となり、不等式の両辺のn→∞の極限をとると、右辺は(1/3)^(n-1)*(3-a1)→0となりはさみうちの原理からn→∞のとき、3-an→0となります。
あとは、3-an→0となるにはan→3出ないといけないので、n→のとき、an→3となります。

tkhsre

なるほど！9割8分わかりました！
この問題は置き換えや前の問題の答えを使って次の問題を解く風の問が多くて難しかったです。
自分で再度振り返ってみます。ありがとうございました！