Question

にょ

①と②が接する時が最小値となるんですか？

-
*186 実数x,yが3つの不等式 y≧2x-5, y≦x-1, y≧0 を満たすとき,
x2+(y-3)2の最大値、最小値を求めよ。
[12 東京経大〕
* 197
な粉して
2
(
本女子人」
2atte *L LTI + J
1

186 x2+(y-3)2=k...... ① とおく。 1
k>0のとき, ① は xy平面上において
(0, 3), 半径が √ の円を表す。
3つの不等式
y≥2x-5,
y≤x-1, y≥0
y=2x-5
-
の表す領域Dは右
の図の斜線部分の
ようになる。
4
ただし, 境界線を
含む｡
円) 580
領域 D と円 ① が共有点をもつときのkの最大
値, 最小値を求める。
D-
O 1 /5
2
y=x-1
①と直線y=x-1 ･･････ ② が接するときを考え
る。

②を①に代入すると
x2+(x-4)2=k
整理すると
2x2-8x+16-k=0
(3)
この方程式の判別式を
D とすると、①と②
が接するための条件は
D=0
ここで
10/14 = (-4)2
であるから 2k-160
-4)2-2 (16-k)=2k-16
y=2x-5/
3
*
y=x-
1 15 4 x
このとき、③の重解は x=-
である。
①点 (43) を通るとき
をとる
16 = ( + ( = = -8
②から
y=x-1=2-1=1
したがって、 接点は領域Dに含まれている。
ゆえに, ①と②が接するときは最小値 8を
とる｡
また、図より、kが最大となるのは,①が点
5
(4.3) または点 (20) のどちらかを通るとき
(
k=42+(3-3)²2=16
①が点(20) を通るとき
k=l
* = (-5/2 ) ² +
-8=2
4
t>
よってんの最大値は 16
以上から、x2+(y-3)2は
すなわち k=8
+(0-3) ²=61
x=4, y=3 で最大値 16,
x=2, y=1で最小値8
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