Question

︎︎

初歩的な質問ですいません
この問題の(１)で、双曲線と直線の公転の座標をtで表すことが、何故双曲線を媒介変数表示したと言えるのですか？この直線はどんな直線、または曲線などでも良いのでしょうか？

変数表示
3700000
(1) 双曲線x-y2=1と直線y=-x+tとの交点を考えて, この双曲線を媒介変
数 tを用いて表せ。
(2) t を媒介変数とする。x=3
形を表すか。
J=
3
1+t2
指針(1) x,yをtで表すために、2つの方程式をx,yの連立方程式とみる。
3t
1+t2
ここで,交点が存在するためには, 双曲線の漸近線の1つが直線y=-x であることか
ら直線y=-x+tでt=0 となることも必要。
(2) x=
からtをxで表して, yの式に代入するのでは大変。 ここでは,
=tx とみることがポイント。
=t•
......
3
1+t2
解答
(1) x2-y2=1
②を①に代入して整理すると
双曲線と直線の交点が存在するためには
ゆえに
t2+1
2t
x=-
①, y=-x+t
これを②に代入して
Toat
t2+1
2t
①.
1+t²⁹ y=
y=-
したがって x=
3
2) x=-
1+t
①を②に代入して y=tx
y=
9 y=-
3t
1+t²
これを①に代入して整理すると
x=0であるから
③ に x=0を代入すると
......
t2+1
2t
t²-1
2t
2tx=t2+1
x2+y²-3x=0
3t
1+t2
② とする｡
+t=
......
で表された曲線はどのような図
■p.134 基本事項 ①
t=0(*) j
t²-1
2t
・②とする。
①より, x=0であるから t=2 (Onia(d+)
x
x(x2+y2-3x)=0
y=-x AY
(x,y)
①
(K,x)=TO
(6-YA)=50
y 3-2
O
0
(*) 2tx=t2+1 で t=0 とす
ると 0=1 となり,矛盾が生
じることから, t≠ 0 を導いて
もよい｡
3
N/W
32/2
y=x
----
(x,y)
135
IRO
y=tx_
3x
y=0
3
9
よって,円(x-212)
2+y=1/27 の点(0, 0) を除いた部分。
例題(1)では、双曲線の番近線に平行な直線y=-xtf(t0) と双曲線は交点を1つだけも

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

ぺんぎん

＿①、媒介変数の大きな目的に、x，y，を、媒介変数の関数にする、と、いう事が有ります。
＿②、双曲線と、言うのは、図形であって、x²-y²=1は、関係式であって、関数ではありません。
＿③、関数とは、y=f(x) の関数を考える時、1つの x に対して、唯1つの y が定まる時に、関数と言えるのでしたよね？双曲線は、殆どの数値 x に対して、1つの x に対して2つの y が有りますので、関数ではありません。
＿④、関数ではない、と言うことは、(その儘では)微分とかが出来ないのです。(計算自体は出来る場合も多いですが、微分が出来る事を原理的に証明出来ないのです。)
＿⑤、双曲線を、原点Oの周りに、45°回転させると、反比例となります。反比例は関数です。
＿⑥、ですから、双曲線の場合は、傾き1、又は、傾き -1 の直線(比例)の式を媒介変数とする事が多いのです。
＿⑦、x，y，を、媒介変数の関数とする事が目的である場合が多いのです。
＿⑧、同様に、円も、関数ではなく、関係式てすね？ですから、媒介変数の関数とする為に、三角関数で置き換えるのです。それによって、関数化するのです。

＿基本的には、x，y，を、関数化出来ないものでは、置き換えません。

ぺんぎん

＿媒介変数に置き換える時、詰まり、今回で言えば、変数 t を変化させた時に、xy 平面図で、唯(ただ)一点で交わらなければ、媒介変数表示した、といは言えません。
＿「どんな直線、または曲線などでも良いのでしょうか？」→どんな直線・曲線でも良いわけてはありません。　
＿媒介変数に置き換える時、詰まり、今回で言えば、変数 t を変化させた時に、xy 平面図で、唯(ただ)一点で交わる条件を満たすのならば、直線でも曲線でも、何でも良いのです。

ぺんぎん

＿①〜⑧、の、何番から分からないの？

Answer 2

トムくま

交点は必ず双曲線上にありますよね。
つまり、直線を任意に動かしてその交点を全てプロットすると、その図形は双曲線になります。