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初めに投げたサイコロの出る目をX₁
硬貨の表裏による倍率をY
後に投げたサイコロの出る目をX₂
とする。
X₁およびX₂は1〜6までの整数値をそれぼれ1/6の確率で取りうる確率変数。
Yはコインの表が出た時は2、裏が出た時は1をとるが、コインの表裏が出る確率はそれぞれ1/2であるからYは1, 2を等確率1/2で取りうる確率変数である。
ここで、サイコロ, 硬貨, サイコロの順に投げる試行が終了した時の持ち点はX₁Y+X₂と表すことができる。
この持ち点の平均E(X₁Y+X₂)は、期待値の線形性よりE(X₁Y)+E(X₂)と表すことができる。
また、サイコロとコインの出方は独立な試行であるから、確率変数X₁, Y の積の期待値E(X₁Y)は、それぞれの期待値の積E(X₁)E(Y)に等しい。
よって持ち点の期待値はE(X₁)E(Y)+E(X₂)と表すことができる。
これを計算すると
E(X₁)E(Y)+E(X₂)=(7/2)×(3/2)+(7/2)=35/4
これが4です。
間違えた7か
どっちの問題も出来るようになりました本当にありがとうございました！！
子供が1人生まれた時にそれが男なら1, 女なら0をとる確率変数Xを考えると、問題文中の統計よりXが1をとる確率P(X=1)は0.514であり、Xの期待値はE(X)=0.514である。また、Xの分散はV(X)=0.514-0.514²となる。
ここで、Xと性質が同じである1000個の確率変数
X_k (kは1から1000までの整数)
を考えると、1000人の子供の中での男児の割合を表す確率変数は
(X_1+...+X_1000)/1000
で表され、これをYとおく。
Yの期待値E(Y)は期待値の線形性より
E(Y)=1000E(X)/1000
=0.514
Yの分散V(Y)も計算すると、全てのX_kは独立な変数であり、和の分散が分散の和となるので
V(Y)=1000V(X)/1000²
=(0.514-0.514²)×1000/1000²
=0.514×(1-0.514)/1000
が成り立つ。
中心極限定理により標本のサイズが十分に大きい時、標本平均は正規分布に従うので今回Yは正規分布に従う。よってYの標準化を行い、標準正規分布表に照らし合わせて考察する。
Yの標準化Zは
Z={Y-E(Y)}/√V(Y)
であるから、先ほど求めたE(Y)およびV(Y)を代入する。また、問題文中に55%とあるのでY=0.55を代入すると、Zの実現値が実数値z’で得られる。
その値はz’=(0.55-0.514)/√{(0.514-0.514²)/1000}
≒0.036/0.01581
≒2.277
このZの実現値z’に対して、z≧z’となる確率は、標準正規分布表を用いて求めることができると思います。