※なんか値が複雑すぎるので勘違いして解いているかも知れない...
一辺が4cmの正四面体なので、どの辺も正三角形。
三角錐O-ABCを三角錐A-BCOと見た場合、Aから底辺BCDに降ろした垂線は、BCDの重心G
で交わる。重心Gは、OからBCに垂線を引いた交点P上にあり、OG:GP*2:1
となる。
△OBPは30°,60°,90°からなる直角三角形であり、OB=4(cm)、BP=2(cm)なので、
OP=2√3(cm)。つまり、OG=2√3 x (2/3)=4√3/3 (cm)
三角錐A-BCOの高さAGは、直角三角形△AOGを考えることで求められる。
OG=4√3/3(cm)、AO=4(cm) より、AG=√(AO^2 - OG^2)=4√6/3(cm)
三角錐A-BCOの体積は、底辺BCOの面積 x 高さAG x (1/3)なので、
(4x2√3 x (1/2)) x 4√6/3 x (1/3) = 16√2/3
三角錐A-BCOと三角錐A-DEOは、底辺の比率の違いのみ。
OB:OD=1:2のように辺が1/2なので、△ODEの面積:△OBCの面積=1:4。
つまり、三角錐A-DEOの体積は三角錐A-BCOの体積の (1/4)なので、
三角錐A-DEOの体積=(1/4) x 16√2/3 = 4√2/3
