Question

Hr

(3)が分かりません！考え方を解説お願いします🙇‍♀️

第4問 (選択問題)(配点20)
太郎さんと花子さんは、 数列の漸化式に関する問題について話している。
問題数列{an}は
を満たしている。 このとき, an を求めよ。
また, Sm = |a|+a2+as|+...... + anl とする｡ S" を求めよ。
太郎: 一般項an を求めるには, 漸化式 an+1=-2a+6 を an+1 - α = p (an-α)の
形に変形するといいね。
花子:そうだね。 このことを使ってα を求めることができるね。
一
100 20.0 20.0 0.0 0.0 20.0
|α1=5, an+1=-2an+6 (n=1,2,3,...)
isht e vona o trae ni kaz8.0
(1) 数列{an}の一般項は
OCALOOLAG
となる。
I
an=
の解答群
On-1
ア
+
①n
オ
a=-2a+6
30=6
X=2
anti-2=-2an-2
②n+1
太郎 : S はどうすれば求められるかな。
花子: 具体的に数列の項を求めてみると, a2=-4,43=14,44=22だね。
(第4回13)
一般項の式から考えると,数列{an}の偶数番目の項は負の数奇数番目の
項は正の数となるね。
太郎: 偶数番目までの項の和と, 奇数番目までの項の和というように場合分け
をして考えたらどうかな。
3P 3 Acc
an-2=-3-1-217-)
gh=3(-21h
+2
(数学ⅡI・数学B 第4問は次ページに続く。)
(2)
nが偶数のときを考える。
S=カキ
である。
nが偶数のとき, n=2mmは自然数)と表すことができるから
S2m=|a1|+|az|+|a3++α2m-1|+|12m |
=|a1|+|a3|+|as|+......+|a2m-1|
と変形できる。
このとき
となり
となる。
a₁+as+as+...+ a2m-1=202
+|az|+|a4|+|a6|+......+|azm|
= a₁+as+a5++a2m-1-(a₂+a₁+as++ a2m)
e(k-1)
a2+ax+a+.………+α2m =
Za
であるから
a2k-1=
k=1
②24=②サシ
S2m = a2k-11
ス
クケ
k=1
tz
a2k
= a2k
ケ
a+=592=
5-4414-2²3-7
26
19
k-1
a2k-1
ソ
-1
+
+ コ
-
コ
3.(-2)24-2
+
= 3-4k-1
+
J
3(-2)
こ
-6
(
2 (01
(数学ⅡⅠ・数学B 第4問は次ペ
3.4k-1

(3)
花子:nが奇数のときは、n=2m-1(mは自然数)と表すことができるね。
だから私はS2m-1 を Sam を用いて表して考えたよ。
太郎:S2m-1 を S2m-2 を用いて表して考えることもできるね。
S2m-1 を S2m を用いて表すと
S2m-15 =
タ
であり、m≧2のとき, S2m-1 を S2m-2 を用いて表すと
S2m-1-
チ
である。
Sn を求めると
nが偶数のとき, Sn
nが奇数のとき, Sn
である。
タ の解答群
⑩ S2m-a2m-1
チ
の解答群
ツ
ナ
テ
① S2m+a2m-1
ト
ヌ
② S2ma2m
S2m-2-42m-1① S2m-2+α2m-1 ② S2m-2-azm
S2m+azm
S2m-2+azm

第4問 数列
(1) an+1=-2a+6 を変形すると
an+1−2=-2(an-2)
また α1-25-2=3
よって, 数列{an-2} は初項 3, 公比-2の等比数列であるから
an-2=3(-2)-1 ･ B
an=3(-2)^-1+2 (⑩)
(2) Sa=|41|+|az|+|as|+|aa|
=5+|-4|+14+|-22|=45
絶対値に注意
(1)で求めたam n=2k-1, n=2k をそれぞれ代入すると
a2k-1=3(−2)2k-2+2
31-2)2 +2
=3.4k 1+2
azk=3(-2)2k-1+2=3(-2)(−2)2k-2+2
よって
=-6.4-1+2
a
a2k-1 = =(3-4k-¹+2)
a2k=(-6.4²-¹+2)
したがって
･A]
k=1
S2m=a2k-1-a2k ····
= {(3.4 -1+2)-(-6.4*-1+2)} Point
lätt
29.4k-1
9 (4'-1)
4-1
=3(4-1)
C
,2(k-1) +1
3(-21-
(3) S2m-1 を S2m を用いて表すと, 偶数番目の項は負の数であるから
S2m-1 = Sm a2m
DET Sann-(-0²)
= S2m+α2m (③) ......(2)
m≧2のとき, S2m-1 を S2m-2 を用いて表すと, 奇数番目の項は正の数で
あるから
S2m-1
=S2m-2
正
a2m-11
正=Smz+α2m-1 (①) ......
3
(2) の結果より, S2m=3(22m-1)であるから <D
2 2 ²m-1
nが偶数のとき Sh=3(2″-1)
【n が奇数の場合の Snを②を用いて求める方法 】
a2m=-6.4m-1+2であるから
S2m-1=S2m+α 2m
=3(22m-1)-6.4"-1+2
9 02m-10
+2
[A]
an+1=pan+q (p1, g≠0) の型
の漸化式は, an+1-α = p(an-α)
と変形する。このときのαは方程
式a=pa+q の解である。 このよ
うに変形すると、数列{an-α} が公
比』の等比数列になることから一
般項が求められる。
B
等比数列の一般項
初項a,公比rの等比数列{an}の一
般項は
an=arn-1
~ATTENTION!
n=2k-1とn=2kのように,
奇数と偶数で場合分けをするこ
とにより, (-2)-1 を 4-1 の式
で表すことができる。
Sn=
|C|
等比数列の和
初項a,公比rの等比数列{an}の初
項から第n項までの和S は
rキ1のとき
(g)
を示す。
=
a(n-1) a(1-r")
r-1
1-r
2mをnに置き換えるため、
S2mを2m で表す。