Question

雫

平方根で(２)(３)の途中式(考え方)の説明をお願いします。

(2)を自然数とするとき, n √ < n +1 となるような自然数の個数をnを使っ
て表しなさい。
(3) √60(n+1)(n2-1) が整数となるような2桁の整数n をすべて求めなさい。

(2)
2n 15 (3) 16,61

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

教育系Vtuberピグマリオン

他の回答者さんと同じなんですが、私なりに表現してみました
わかりづらいところ・読みづらいところがあれば言ってください
もう少し詳しく説明します

Answer 2

ブドウくん

（2）なかなかパッと答えが分かる問題ではないと思います。自然数nのままでは分かりにくいので、実際に代入して実験してみると分かりやすいです。
n=1のとき→1より大きく2より小さい
1=√1であり、2=√4なので、√2と√3の2つです。
n=2のとき→2 より大きく3より小さい
2=√4であり、3=√9なので、√5から√8の4つです。
n=1のとき→3より大きく4より小さい
3=√9であり、4=√16なので、√10から√15の6つです。
なんとなく2nっぽいなと分かりますね。ですが、これだけで決めるのも早すぎる気がします。
今したことと同じことをnでもやってみます。
nより大きくn+1より小さいとき、先程も2乗したので√表記に直しましたね。n=√n²であり、n+1=√(n+1)²です。さっき、√9と√16の間にあるものは√10から√15の6つだと書きましたが、今回は具体的な数字ではないのでこの例みたいに数えられません。これを計算で出す必要があります。植木算の考え方から16-9-1で求まりますね。同じく、(n+1)²-n²から1を引きます。2乗-2乗の公式から(2n+1)-1=2nとなります。

ブドウくん

(3)見た目がいかついですが、実際に解いてみると大したことはないです。教科書にも載っている「√60nが自然数になるための条件」みたいな問題と発想は同じです。
まず、n²-1=(n+1)(n-1)なのでルートの中身は
60(n+1)²(n-1)
={2(n+1)}²×3×5×(n-1)
となります。
こいつが自然数になるには、3×5×(n-1)の部分で2乗を作れば良いから、n-1=15k² (kは自然数)となります。
k=1のとき、n=16
k=2のとき、n=61
k=3以上のときは2桁とはならないので、この2つが答えです。

雫

回答ありがとうございます。
(４)はよくわかりました。
(５)で3×5×(n-1)の部分を2乗にしなければならないのは分かるのですが、
n-1=15k²の意味があまりよくわかりませんでした。
よろしくお願いします。

ブドウくん

60(n+1)²(n-1)
={2(n+1)}²×3×5×(n-1)
の{2(n+1)}²部分は2乗が作れているので、あとは3×5×(n-1)部分で2乗を作ればよいというところまでは理解できたと思います。3と5が1つずつあるので、n-1のところでもうひとつ3と5を準備してやれば
3×5×(n-1)
=3×5×【3×5】
=(3×5)²
となり2乗の形になりますね。でも、別に3と5以外にも3×5×2²のように、2乗の形であれば勝手に付け加えても
3×5×(n-1)
=3×5×【3×5×2²】
=(3×5×2)²
のようにちゃんと√の中身が2乗になってくれて、自然数になります。
最低限3と5は1つずつ用意して（3×5）、その上で自然数の2乗の形（k²）であれば付け加えてもOKなので、n-1=3×5×k²というのが条件となります。
要するにルートの中身は
{2(n+1)}²　 ×3×5× (n-1)
={2(n+1)}²　×3×5×【3×5×k²】
={2(n+1)}² × (3×5×k)²
={2×3×5×(n+1)×k}²
となります。