AB, AC を
四角形
イ
[静岡]
基本事項 3
は
[千葉工大]
条件 )
位置ベクト
tから
",
t: (1-t)
であるから
+tc
-t)
MN かつ
して
(z+3))
-10= -4k,
よい。
Tea
とすると
とき,x,
e) 立教大]
共線条件 (2)
平行六面体 ABCD-EFGHにおいて, 辺AB, AD を 2:1に内分する点をそれぞ
単行六面体の対角線AG は APQR の重心 Kを通ることを証明せよ。
Q とし, 平行四辺形 EFGH の対角線EGを1:2に内分する点をRとする
基本60
InP,
61
例題
> AGはKを通る 3点 A, G, K が一直線上にある
⇒AG=kAK となる実数がある
まず,点Aに関する位置ベクトル AB, AD, AE をそれぞれ,d,e として表現を簡単
に), AG, AK をdeで表す
B=1, AD=d, AÉ=e とする。
AP=1-6, AQ=3 d
AG=b+d+è
①から
AR-2AE+AG__b+d+3e
3
3
ゆえに APQR の重心K について
AK=— (AP+AQ+AR)
H
d
ゆえに
D
2
= ² ( ² 5 + ²/² d + ³ + d + ³ ² ) _
= ²
E
b+d+e
3
10.②から
AG=3AK
したがって,対角線AGは△PQR の重心K を通る。
1
(検討)
上の例題において、辺AB, AD, 線分GE を (1-t)
(0<x<1) に内分する点を,それぞれP, Q, R とすると
AP=tb, AQ=td
また、AG=+d+eから
AR=tAĒ+(1¬t) AG=të+(1−t)(b+ã+è)
=(1-t)(b+d)+e
F
ER: RG=1:2
ADDA
→だから根を求めた」
B
AK={}-{tb+tã+(1−t)(b +ã)+è}={}(b+ã+ë)
よって AG=3AK
「したがって, tの値に関係なくAGは△PQR の重心K を通る。
1,2は1次独立。
AP: PB=2:1
AQ:
QD=2:1
H
1-t R
E
結局, 点Kは△BDE の重
心である。
D
1-t
習
961 き, 4点A, P, Q, G は一直線上にあることを証明せよ。
475
SK
7/10
34 3
∙t
B
29 位置ベクトル、ベクトルと図形
2章
平行六面体 ABCD-EFGH で ▲BDE, CHF の重心をそれぞれP Q とすると
2AE+AG
ーーーーー
1+2
でも良いですか?