✨ Jawaban Terbaik ✨
θ→+0のときcosθ=1ですから、(1+cosθ)/θ=+∞です。故に全体として正の無限大に発散します。
少なくとも高校で習う極限は今までと同様に0除算を認めていません。「あくまで近付けるだけなので分母は0にならない」という論理です。
ここで、f(x)=2/xについて、xを正から0に近付けていくことを考えます。
x=1のとき f(1)=2
x=0.1のとき f(0.1)=20
x=0.0001のとき f(0.0001)=20000
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というように、xが0に近づくほど、2/xの値は大きくなっていくことがわかります。
xを正から0に限りなく近づけるとき、2/xの値は限りなく大きくなります。これを、
lim 2/x=∞
x→+0
と書くのです。
今回は、θ→+0のときの(1+cosθ)/θについて考えるわけですが、感覚的に1+cosθは限りなく2に近づいていって、θは限りなく正から0に近づいていくため、前述したような形で正の無限大∞に発散するとわかります。
[ちょっと発展的な話]
まぁ今思いついただけなのですが、感覚に依らず正しく客観的に考えるなら、"はさみうちの原理"を使うべきです。
cosθの値域はθ=0の近傍(特に今回はθが正である範囲)において考えれば十分ですから、仮に0<θ≦π/4としておきましょう。(θ=0にはならないので、定義域にθ=0は含まれません。)
f(θ)=(1+cosθ)/θとおくと、1/√2≦cosθ<1であることから、(1+1/√2)/θ≦f(θ)<2/θが得られます。
この不等式について、前述から、θ→+0のとき、
(左辺)=∞
(右辺)=∞
と分かります。故に、はさみうちの原理から、
θ→+0のときf(θ)=∞
となります。
ものすごくわかりやすいです。
ありがとうございます。
cosθ=1というのはわかりましたが、それならば(1+cosθ)/θは2/0になって+∞にならないと思うのですが、、
すいません、できれば
(1+cosθ)/θ=+∞にどうしてなるのかもう少し詳しく知りたいです
よろしくお願いします