ょお, 一般に次のことがわかっている。ただし, a, bは互いに素な自然数とする。
次ページの(*)によると,すべての整数xについてx=3m+5nを満たす整数 m, nが存在する。
→xを3で割った余りで分類されることが見えてくる。
れる整数
たがって,x=3m+5n と表すことができない正の整数は
3m+5n の係数3, 5のうち,小さい方の3に注目。n=0, 1, 2を代入してみて, xがどの
整数の問題 いくつかの値で小手調べ(実験)
/どのような負でない2つの整数 mとnを用いてもx=3m+5n とは表すことが
よって,xが3の倍数(x=3, 6, 9,…) のときは,
まない正の整数xをすべて求めよ。
【大阪大)
基本 117, 重要120
ような形の式になるかを調べてみる。
答
nは負でない整数であるから
| n=0 とすると
m20, n20
M,
4m>0, n>0 は誤り。「負
でない」であるから, 0で
あってもよい。
十
x=3m
メ=3m+5n の形に表すことができる。
2 n=1とすると
ここで,m20より m+121であるから
よって,xが5以上の3で割って2余る数(x=5, 8, 11,
…)のときは, x=3m+5nの形に表すことができる。
B n=2とすると
ここで,m20より m+3>3であるから
よって,xが10以上の3で割って1余る数(x=10, 13, 16,
…)のときは, x=3m+5n の形に表すことができる。
リ~13] により, x=3, 5, 6 と x28のときは, x=3m+5nの
形に表すことができる。
x=3m+5=3(m+1)+2
イx=3(m+2)-1としても
x23-1+2=5
よい。
x=3m+10=3(m+3)+1
(x=3(m+4)-2としても
x23-3+1=10
よい。
リ(, x=1, 2, 4, 7について考えればよい。
m=0, n=0 のとき
m=1, n=0 のとき
m=0, n=1のとき
m21, n21のとき
m, nが小さい値のときの,
x=0
xの値を調べる。
x=3
x=5
(3m+5n23·1+5·1=8
3m+5n28
=1, 2, 4, 7
しかし、上の例題では,
本数も出てくる。
m, n を「負でない」 整数としているため, 3m+5n の形で表せない自
に次のことがわかっている。ただし, a, bは互いに素な自然数とする。
『t ar+by(x, yは自然数)の形で表される。
402 参照)
ab+1 hl
