Question

ぷ

この問題の⑵の解説で、p1+…+pn＝1であるから〜というところからの式変形が全く分かりません
何を根拠にこんな変形できるんでしょう？
あと、この⑵を初見で見た時、どうこの解法を思いつけばいいのでしょうか？
おしえてください

第2章 微分法
11
20.
A 0<か<1 と 0<6,@zくπ を満たすゅと@, @zに関じて,不等式
psin 0.+(1-か)sin0zSsin{pl.+(1-p)0)
が成り立つことを示せ。
(エ)ハー(1)
(2) 2以上の自然数nと0<0,, Os, …, On<π に対して, 不等式
sin 0,+sin02++sin UnAsin
10.+02+···+0n
n
n
5
が成り立つことを証明せよ。
透 (8)
(3) 定円に内接する n角形が円の中心を内部に含んでいるとする. このよう
なn角形のうちで, 面積が最大であるものは, 正n角形であることを証明
(大せよ。
(福井医科大)

psin ,+(1-p)sin 0z<sin{p6,+(1-か))
は示されて,等号は 0.=02 のときに限り成立する.
D…
多-3
み-1
るケ
(2) n22 のとき,
0<か, Pe,
…, Dn, + p2+…+ pn=1
に対して,
2かsin 0,Ssin(とn)
が成立する(等号は 0.=02=…=0, のときに限り成立) ことを数学的帰
納法で示す。
n=2 のときは(1)で示した.
n=k (22) のときに②が成立すると仮定する.このとき,
e+1
i+
pe
sin(
(か
14
30(カ+p)+ps+…+pe+1=1 であるから仮定より, J
sin(pe)2(か+か)sin(,0+,な6) +2 prsin@,
かか+ be
か+ e
k+1
2(か+)-
かか十 pe
sin 0,+- De
か+ p2
sin 6s + nsin0。
=3
k+1
(c) asin 0.
T=?
等号は
p+pe
pe
-02=03=…=0k+1 かつ @、=02
か+ pe
すなわち 0,=02= = Ox+1 のときに限り成立する。したがって2は示さ
れた。2において
本さ
u
とすれば
(u *7 'T=) =
sin0,+sin@z+…+sin0n
ハsin(9
+02+···+0n
u
を得る。
u
(3) n角形の頂点を Ai, Az, …, An (Aj=An+1 とする), 円の中心を 0,
ZA,OA;+1=0; (i=1, 2, …, n), 円の半径をr, n角形の面積をSとす
ると,

微分法

Answer 1

さい先生

n=kのときに成り立つことを、どうにかして利用するという、数学的帰納法の基本方針によって証明をしていきます。
添付の解説が、ちょっとわかりにくいかもしれませんが、参考にしてください。

特にこの問題については、「こんなやり方アリ？」って思ってしまう解法なので、ほんと、難解ですよね。

ちなみに私も初見では、解法が全く思い浮かびませんでした。(どころか、解答見ても、理解するのに時間がかかりました😅)

ぷ

ありがとうございます！
やっぱめちゃむずいですね
ただ理解はできました！
ありがとうございます