Question

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二次方程式、解の配置の問題です。

なぜ、この問題では「判別式、軸、端点」を求めなくて良いのですか？
なぜ端点だけで良いのでしょうか。

よろしくお願いいたします

32次方程式 ax?-(a+1)x-2=0が, -1<x<0, 2<x<3の範囲でそれぞれ1つっの実数解をもつ
ように,定数 a の値の範囲を定めよ。

32次方程式とあるから、 aキ0であり, f(x) =Dax?-(α+1)x-2 とする。このとき
別解 「(x) =ax" 1(a+1)x-2 とする。 aキ0 であるから, y=f(x) のグラフは放物線である。
f(0) = -2<0 であるから, 求める条件は
F(0) = -2, f(2) =2a-4,
2次方程式 f(x) ==0 がー1<x<0, 2<x<3の範囲でそれぞれ1つの実数解をもつための条件は
ハ-1)f(0) <0 かつ f(2)f(3) <0
(-1) =2a-1,
f(3) = 6a-5
すなわち
ハ-1)f(0) <0 から
2a-1>0, 2aー4<0, 6a-5>0
よって
よって
a>ラ,a<2, a>
2a-1>0 から a>→
これらの共通範囲を求めて
くaく2
f(2)f(3) <0 から
(2a-4)(6a-5)<0
である。
よって
(a-2)(6a-5)<0
ゆえに
くa<2
3
の, 2の共通範囲を求めて
くa<2
である。
開くa<2
1
5
2
a
2 6
0

解の配置 二次方程式

Answer 1

✨ Jawaban Terbaik ✨

poppo

範囲内に解を1つ持つ時、図のように端点の値は一方が正でもう一方は負になります。

なので、端点2つをかけると負、の別解のような解き方もできるわけです。

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端点を求めれば、自動的に解の個数も軸も網羅している、ということでしょうか？

poppo

そうですね。
「p<x<qの範囲にただひとつの解をもつ」という問題は、軸や判別式関係なしに
「f(p)f(q)<0」のみで条件を満たします。

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そうなんですね！追加の質問にまでご回答頂きありがとうございます。すごく助かりました。

poppo

いえいえ、解決したなら良かったです。
少し補足すると、
判別式を調べるまでもなく、上に書いた図のように符号が変化していればx軸と交点をもちますし、
上の図で軸は範囲の右側にありますが、軸が左側にあっても範囲の中にあっても、端点がプラスとマイナスになっていれば範囲内にひとつの解を持つのが図からわかるので、それだけで十分です。