Question

❄️

(2)の問題で背理法を使うのですが、「互いに素である」ことを証明するのなら「互いに素でない」と仮定するのではないのですか？

2つの数列{an}, {bn}は, ai=Dbi=1および関係式
an+1= 2anbm
bn+1= 2a,?+ b,?
をみたすものとする。このとき次の問いに答えよ。
口(1) n23のとき, an は3で割り切れるが、b,は3で割り切れないことを示せ。
口(2) n22のとき, anと bmは互いに素であることを示せ。
('06 九州大·医,歯,薬, 工, 理,農, 経済,芸術工(前期))

(2)(証明)
数学的帰納法で示す。 A
[1] n=2のとき D
a2=2, b2=3であるから, azと b2は互いに素である。E
[2] n=k(kN2)のとき
ak と beは互いに素である
の
と仮定する。
このとき,ak+1と ba+1が素数pを公約数にもつと仮定して,
背理法によって, ak+1 と be+1が互いに素であることを示す。F
振り返り
Check
互いに素でないとして背理法を使うことができたか
ここで,b」(=D1)は奇数であり,
bn+1=2am?+ 6n?
によって, b,が奇数ならば bn+1も奇数であるから,
bn(n21)は奇数である。
したがって,かは奇数であるから,
ak+1= 2akbk
より,a, be のうち少なくとも一方はpを約数にもつ。 G
(i) anがかを約数にもつとすると,
b?= ba+1- 2ar?
より,b。もかを約数にもつ。H

Answer 1

peekAboo

式①は数学的帰納法の仮定です。

背理法の仮定はn=k+1の時に改めて設定してください。