Question

かき

解き方を教えて欲しいです🙇‍♂️

2. (20
(a) [10 A, A2. Ax を、任意の確率的な事象の列とする。このとき、任意の確率Pに対して以下
が成立することを、確率論の公理を用いて示せ。
K
P(A, U As U…UAx)<EPA)
k=1

確率

Answer 1

Tak

B_1 := A_1
B_2 := A_2 - A_1
…
B_n := A_n - (∪[k＝1~n-1] A_k)
B_(k) (k≧n+1)を空集合とおけば、σ加法性が使えます。

あとは、B_k ⊂ A_kであることを使えばいいです。

かき

ごめんなさい、この分野の知識ゼロなので途中式を教えてもらえないでしょうか...?

Tak

上のように置ければ、あとは簡単にできます。

P(A_1∪…∪A_n)
= P(∪[k=1~∞] B_k)
= Σ[k=1~∞] P(B_k)
= Σ[k=1~n] P(B_k)
≦ Σ[k=1~n] P(A_k)

かき

これで示せたことになってますか？

Tak

B_kの定義や、σ加法性が使えることなどについて言及する必要があります。

かき

言及したものを紙に書いてもらってもいいでしょうか？🙇‍♂️申し訳ないです🙇‍♂️

Tak

方針とかではなく答えがほしいということですね。

それであれば、この話は有名な話なので、
測度 劣加法性
などで検索すれば出てくると思いますよ。

かき

ごめんなさいサイト見たんですけどよくわかりませんでした。劣加法性という知識がないとこの問題って解けませんか？数IIIをやっておらず、ほんとに申し訳ないのですが、紙に答えと途中式書いていただけないでしょうか？

Tak

劣加法性を示せというのがこの問題です。
また、数Ⅲをやってない状況でこの問題は厳しいです。

特に公理的確率論は積分論ですので、勉強する順番が違いますね。

かき

これに加法性やBkについての言及がされた回答を教えていただけないでしょうか？

Tak

http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/h25kogi/13prob1-6.pdf

Tak

こちらの補題2.5です
私のやり方はこれに、A_(n+1)を空集合と考えただけで、記述等は同様です。

かき

シグマの∞をnに変えれば大丈夫でしょうか？

かき

あと(A1 ∪···∪An−1) とおくを (A1 ∪···∪An) に変えれば大丈夫でしょうか？

Tak

∞で示せることを有限で示してるので、何か意図があるのかもしれません。

授業での確率の定義を教えてください。

Tak

また、置き方は変えてはだめです。

Tak

A1 ∪···∪An−1のままであることが大事です。

かき

ごめんなさい違う問題になるとわかんなくなるので、この問題の解答だけ教えてもらえませんか...？

かき

定義などは特に言われてないです

Tak

確率論の公理と問題文にあるのに、何も言われてないということでしょうか？

ということは、私が言っているσ加法性などの用語は習ってないということですかね？

Tak

σ加法性は完全加法性や加算加法性という用語で扱われてる可能性もあります。

Tak

加算加法性ではなく、可算加法性です。

かき

習ってないです、、

かき

先程のサイトを軸にどこを変えればこの問題の解答になるのかだけ教えて欲しいです。

Tak

習ってないのに確率論の公理といわれても困りますね。

修正するのは、最後の式を私が先ほど書いたものに書き換えるだけです。

BをA'にしてください。

Tak

ちなみに、私が想定している確率論は数学科がやるものを想定しています。

問題文にσ加法族と書かず事象などと書いているので、一般的な確率論の公理ではなく、授業内だけの確率論の公理の可能性がありますので、ご注意ください。

Tak

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%AB%96

Tak

参考に一般的な確率論の公理は、こちらの数学的定義の項目に記載があります。

Tak

確率空間の内容が公理です

かき

これを最後の式に加えてBをA'に変えれば大丈夫でしょうか？

かき

このようになりました

Tak

A'_nの定義に、
A'_(k) (k≧n+1)を空集合と定める旨を記載することを忘れずに。

哲治

劣加法性の証明そのものですね。
Takさんお久しぶりです。
僕が補足することなど何もないですけど、かきさんがテキストお持ちでなければ関連ページを添付しておきます。

哲治

続き

哲治

続き

哲治

参考書は高信先生の確率論です。
ちなみに確率論やりたければルべーグ積分が完全に既知されますので。

Tak

哲治さん、お久しぶりです。
参考情報ありがとうございます。