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やることは単純ですが式を立てるのが難しいかもしれません。
やることはいつも通り、条件から方程式を立てて解く、これだけです。
今回の条件は以下の2つ。
①点Pが△OAQの内心となる
②∠AOQ=15°
求めたいのはQのx座標。まず求めたいものを文字でおきます。Q(x,y)としましょう。
①,②からx,yに関する方程式を立てます。ここが一番難しく、思考力と発想力を要するところです。
まず、知識を整理するところから始めてください。つまり、言葉の意味の確認、定義や定理の確認から始めます。
「内心」とは何でしょうか。
三角形のそれぞれの角の二等分線の交点です。
これには様々な性質がありましたが、今回はどの性質や定理を使うのがいいのでしょうか。知識をもとに最適なものを選べるようにしましょう。(※ちなみに自分は大体基本的な性質でごり押します。そうすると計算量が多くなるのでいっつも時間が足りなくなってました。残念ながら今回もあまりいいのが思い浮かばないのでそのままごり押します。)
Pは角の二等分線の交点なので、
∠AOP=∠AOQ/2=15°/2=7.5°
ここで、∠OPA=150°より、
∠OAP=180°-(150°+7.5°)=22.5°
Pは角の二等分線の交点なので、
∠OAQ=2∠OAP=2×22.5°=45°
ということで、点Qは、
{∠OAQ=45°
{∠AOQ=15°
となるような点になります。
∠OAQ=45°より、点A(12,0)を通り傾きが-1の直線上に点Qがあることがわかります。すなわち点Q(x,y)は直線の式を満たすので、
y=-x+12
が成り立ちます。
同様に、∠AOQ=15°から、
y=(tan15°)x=(2-√3)x
が成り立ちます。(※tan15°=2-√3を導くのはめんどくさいですが半角の公式と2重根号でできます。)
連立して解くと、
x=6+2√3
となります。
もっとうまいやり方もあるかもしれませんが、発想力がないのでいつもごり押しで計算してしまいます。あまりおすすめはしません。
重要なのは式を立てるところです。条件をいかに変形して扱いやすい式にできるか、それが問題です。たくさんの同意表現を知っていれば簡単に計算できるものを選びやすくなるでしょう。
じゃあ書き方を変えましょう。
Q(x,y)からx軸に向かって下ろした垂線の足をHとおきます。
△OHQは直角三角形になり、
y/x=tan15°
です。
なるほどです！理解出来ました！丁寧にありがとうございます🙇🏻♀️
すみません、質問です。
「∠AOQ=15°から、y=(tan15°)x」のところが理解出来ません。
他はお陰様で理解出来ました。ありがとうございます🙇🏻♀️