Y4aを正の定数とする。Oを原点とする座標平面上に,円 C;:x°+y* +10x+2y+1=0 と
直線2:3x+4y==a があり,C」とlは接している。
(1) aの値を求めよ。
る(2) eに関して C」と対称な円を C。とする。C。の方程式を求めよ。
(3) (2)のとき, Oから Caに引いた接線のうち傾きが正であるものをmとする。また。
Co と mの接点をPとし,C, 上の点をQとする。QがPを除く Ce上を動くとき,
AOPQの面積の最大値とそのときのQの座標を求めよ。
(配点 40)
() 円 C:x+y+ 10x+2y+1 = 0 について
(x+5)?+(y+1) = 25
であるから、Ciの中心を Aとすると A(-5, -1)
また,Ciの半径は5である。
C,とが接するから,点Aと直線l:3x+4y-a=0 の距離は,円 Ciの
半径に等しい。
Q
C.
B
よって
tsa
13-(-5)+4-(-1)-al
3+43
=5
|-19-a|= 25
la+19|= 25
0
a+19 = ±25
原点0から Cに引いた接線 m の方程式を y=kx (k > 0) とする。
mは C;:(x-1)+(y-7)*= 25 と接するから, これらの方程式からyを
消去して得られるxの2次方程式
(x-1)+(kx-7)= 25
(+1)x-2(7k+1)x+25 = 0
a= 6, -44
a>0より
a=6
圏 a=6
は重解を持つ。
のの判別式をDとすると
2)
C.
= (7k+1)*-25(k+1)=0
24k+14k-24 = 0
12k +7k-12 = 0
(3k+4(4k-3)= 0
C
k=-4 3
T お よ
e>0であるからk=-
0
A°
このとき、の重解が Caと mの接点Pのx座標であり
ー 1
16°
ー号x+25 = 0
*-8x+16 = 0
直線:3x+4y =6 に関して, 円 C, の中心 A(-5, -1)と対称な点を
B(p, 9)とする。
(x-4)= 0
x=4
線分 ABの中点(一T2, 二Tは2ヒにあるから
また,点Pのッ座標は y=4=3
3--5+2+4 9 =6
よって P(4, 3)
線分OPの長さは一定であるから、QがPを除く Ca 上を動くとき、△OPQ
の面積が最大となるのは, OP を底辺としたときの高さが最大となるときで、
これは,直線 PQが Caの中心Bを通るときである。
このとき, PQ は円 C« の直径であるから, 線分 PQの中点がBであり、
Q(s, t) とすると
(4+s
2
2
3(-5+p)+4(-1+q)=12
3p+4q = 31
また,の傾きは一-であり,lと AB は垂直であるから
.タ-(-1)
-=1
3(q+1= 5丁
よって s=-2, t=11
-4p+3q = 17
3+t
=7
0, のを解いてp=1, q=7
したがって,B(1, 7) であり, Czの半径は C, の半径と等しく5であるか
ら,Caの方程式は
(x-1)+(y-7)"= 25
したがってQ(-2, 11)であり, このとき, OPLPQであることに注意す
ると,AOPQの面積は
OP-PQ=+3-(6-2) = 25
圏(x-1)+(y-7) = 25
圏 AOPQの面積の最大値 25, Q(12, 11)
ありがとうございます！